Encontre o raio de convergência da série:
sumn=1^infty n!3 cdot 6 cdot 9 cdots 3 n x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência de
sumn=1^infty n!3cdot6cdot9cdots3n,x^n
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a simplificação do termo geral e, em seguida, o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Observe o produto do denominador:
3cdot6cdot9cdots3n = prodk=1^n(3k) = 3^n,prodk=1^nk = 3^n,n!

Passo 3

Substituindo no termo geral, temos
an = n!3cdot6cdot9cdots3n = n!3^n,n! = 13^n
Logo a série fica
sumn=1^infty x^n3^n = sumn=1^inftyl(x3r)^n,
ou seja, é uma série geométrica de razão x3.

Passo 4

Para uma série geométrica sum(tfracx3)^n convergir, precisamos de
l|x3r|<1 Longrightarrow |x|<3
Portanto, o raio de convergência é
R = 3

Resposta

O raio de convergência da série é 3.

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