Encontre a série de potências para f(x), centrada em c, dada:
f(x)=e^-5 x, c=0

Passo 1

Temos a função
f(x)=e^-5x
e queremos sua série de potências centrada em c=0, ou seja, a expansão de Taylor (Maclaurin)
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n

Passo 2

Vamos encontrar a derivada de ordem n. Note que
f'(x)=-5e^-5x, f''(x)=(-5)^2e^-5x, ldots, f^(n)(x)=(-5)^n,e^-5x
Em particular, em x=0 temos
f^(n)(0)=(-5)^n,e^0=(-5)^n

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor em c=0 obtemos
f(x)=sumn=0^infty(-5)^nn!,x^n

Passo 4

Opcionalmente, observamos que essa série converge para todo x, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

boxede^-5x=sumn=0^infty(-5)^nn!,x^n

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