Encontre a série de potências para f(x), centrada em c, dada:
f(x)=sen 5 x, c=0

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de f(x)=sen(5x) centrada em c=0. Como c=0, vamos usar a série de Taylor (Maclaurin) de sen(t) em torno de t=0 e depois substituir t=5x.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de sen(t) é
sen(t)=sumn=0^infty(-1)^n,t^2n+1(2n+1)!,
válida para todo t.

Passo 3

Para obter a série de sen(5x), fazemos t=5x na expansão acima, o que dá
sen(5x) =sumn=0^infty(-1)^n,(5x)^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Bastam alguns ajustes na potência de 5x:
(5x)^2n+1=5^2n+1,x^2n+1,
logo a série fica
sen(5x) =sumn=0^infty(-1)^n,5^2n+1,x^2n+1(2n+1)!

Resposta

boxed sen(5x) =sumn=0^infty(-1)^n,5^2n+1,x^2n+1(2n+1)!

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