Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(x)=tg(x^2-2 x)-sec ^2(3 x^3-1)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=tan(x^2-2x)-sec^2(3x^3-1)
Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia em funções trigonométricas, usando que

e que, para
dvxtan u=sec^2ucdot u'
vale

Passo 2

Derivando o primeiro termo: seja g(x)=x^2-2x Pela regra da cadeia,

Como dvxtan(g(x))=sec^2(g(x))cdot g'(x) obtemos

Passo 3

Derivando o segundo termo: seja u(x)=3x^3-1 e considere h(x)=[sec(u(x))]^2 Pela regra da cadeia em potência,

Como segue que
h'(x)=2sec(u(x))cdotdvx[sec(u(x))]
Com dvxsec(u)=sec(u)tan(u)cdot u',

Como o termo em h'(x)=2sec^2(u(x))tan(u(x))cdot u'(x) é negativo, temos

Passo 4

Combinando os dois resultados, a derivada de f fica
f'(x)=(2x-2)sec^2(x^2-2x)-18x^2sec^2(3x^3-1)tan(3x^3-1)

Resposta

f'(x)=(2x-2)sec^2(x^2-2x)-18x^2sec^2(3x^3-1)tan(3x^3-1)

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