Mostre que integral-pi2^pi2 2 cos ^2(theta) d theta=pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de de até é igual a . Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente usando uma identidade trigonométrica para simplificar .

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 . A identidade que vamos usar é:
Essa identidade é super útil porque transforma o quadrado do cosseno em uma soma mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral-pi2^pi2 2 cos^2(theta) , dtheta = integral-pi2^pi2 2 ( 1 + cos(2theta)2 ) dtheta na integral original pela identidade que encontramos:
= integral-pi2^pi2 (1 + cos(2theta)) , dtheta
Os 2’s se cancelam:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a integral (1 + cos(2theta)) , dtheta = theta + sin(2theta)2 + C é , e a integral de é :
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de a .

Passo 5

Aplicando os limites na expressão integrada:
[ theta + sin(2theta)2 ]-pi2^pi2 = ( pi2 + sin(pi)2 ) - ( -pi2 + sin(-pi)2 )
Sabemos que = ( pi2 + 0 ) - ( -pi2 + 0 ) = pi2 + pi2 = pi e , então a expressão fica:

Resposta

A integral é igual a .

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