Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de
de
até
é igual a
. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas, especialmente usando uma identidade trigonométrica para simplificar
.
Passo 2
Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar
. A identidade que vamos usar é:
Essa identidade é super útil porque transforma o quadrado do cosseno em uma soma mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, substituímos
na integral original pela identidade que encontramos:
Os 2’s se cancelam:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a
é
, e a integral de
é
:
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de
a
.
Passo 5
Aplicando os limites na expressão integrada:
Sabemos que
e
, então a expressão fica:
Resposta
A integral
é igual a
.