Determine a derivada.
y=e^{3 x} \operatorname{arc} \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = e^{3x}\,\arcsin(2x).
O conteúdo necessário é a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos as funções f(x)=e^{3x} e g(x)=\arcsin(2x).
Pela regra do produto,
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 3

Calculamos f'(x) usando a regra da cadeia em e^{3x}:
f'(x) = \frac{d}{dx}e^{3x} = 3\,e^{3x}.

Passo 4

Calculamos g'(x) usando a derivada de \arcsin(u) com u=2x:
g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\;\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}\cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}.

Passo 5

Substituindo em y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x), obtemos
y' = 3\,e^{3x}\,\arcsin(2x) \;+\; e^{3x}\,\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} = e^{3x}\Bigl(3\,\arcsin(2x) + \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\Bigr).

Resposta

y' = e^{3x}\Bigl(3\,\arcsin(2x) + \tfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\Bigr)

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