Use a regra da cadeia para achar d zd t e d wd t.
z=x y^3-x^2 y, x=t^2+1, y=t^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o problema. A gente tem uma função que depende de e , que por sua vez dependem de . Precisamos usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada de dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt em relação a usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Ou seja, precisamos das derivadas parciais de em relação a e , e das derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z = x y^3 - x^2 y em relação a partial zpartial x = y^3 - 2x y e partial zpartial y = 3x y^2 - x^2 :
Primeiro, derivando em relação a :
Agora, derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de x = t^2 + 1 Rightarrow dxdt = 2t e y = t^2 - 1 Rightarrow dydt = 2t em relação a :

Passo 5

Com tudo calculado, substituímos na expressão da derivada de dzdt = ( y^3 - 2x y ) cdot 2t + ( 3x y^2 - x^2 ) cdot 2t :
dzdt = 2t ( y^3 - 2x y + 3x y^2 - x^2 )
Podemos fatorar o :

Resposta

A derivada de dzdt = 2t ( y^3 - 2x y + 3x y^2 - x^2 ) em relação a é:

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