Determine a derivada da função dada:
f(x)=\cos \left(x^{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, pois temos uma função externa \cos(u) composta com uma função interna u(x)=x^{2}.

Passo 2

Definimos a composição em duas partes:
u(x)=x^{2}
e
g(u)=\cos(u),
de modo que f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada de g(u)=\cos(u) em relação a u. Sabemos que
g'(u)=-\sin(u).

Passo 4

Calculamos a derivada de u(x)=x^{2} em relação a x:
u'(x)=2x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x =-2x\sin\bigl(x^{2}\bigr).

Resposta

f'(x)=-2x\sin(x^{2})

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