Determine a derivada da função dada:
f(x)=\frac{1}{2}\left(\left(1+x^{2}\right) \arctan (x)-x\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac12\Bigl((1+x^2)\arctan(x)-x\Bigr).
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do produto e a derivada da função \arctan(x), que é
\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 2

Para facilitar, defino
g(x)=(1+x^2)\arctan(x)-x,
de modo que
f(x)=\frac12\,g(x)
e
f'(x)=\frac12\,g'(x).

Passo 3

Agora calculo g'(x). Primeiro a parte
(1+x^2)\arctan(x) usa regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^2)\arctan(x)\bigr] =(1+x^2)'\,\arctan(x)+(1+x^2)\,\frac{d}{dx}\arctan(x) =2x\,\arctan(x)+(1+x^2)\frac1{1+x^2} =2x\,\arctan(x)+1.
Em seguida a derivada de -x é -1. Logo
g'(x)=\bigl(2x\,\arctan(x)+1\bigr)-1=2x\,\arctan(x).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=\tfrac12\,g'(x), obtemos
f'(x)=\frac12\cdot\bigl(2x\,\arctan(x)\bigr) =x\,\arctan(x).

Resposta

f'(x)=x\arctan(x)

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