Determine a derivada da função dada:
f(x)=\operatorname{sen}^{2 / 3} x+\frac{1}{\cos ^{3} x};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin^{\frac{2}{3}}x+\frac{1}{\cos^{3}x}
Para isso vamos usar a regra do poder (power rule), a regra da cadeia (chain rule) e as derivadas conhecidas de \sin x e \cos x.

Passo 2

Calcular a derivada de \sin^{\frac{2}{3}}x. Seja u(x)=\sin x e m=\tfrac{2}{3}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(u^{m}\bigr) =m\,u^{m-1}\,u'
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{\frac{2}{3}}x\bigr) =\frac{2}{3}\,\sin^{\frac{2}{3}-1}x\cdot\cos x =\frac{2}{3}\,\sin^{-\frac{1}{3}}x\;\cos x.

Passo 3

Calcular a derivada de \cos^{-3}x. Aqui v(x)=\cos x e o expoente é -3. Usando a regra do poder e sabendo que v'=-\sin x,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{-3}x\bigr) =-3\,\cos^{-4}x\cdot(-\sin x) =3\,\sin x\;\cos^{-4}x.

Passo 4

Somando as duas contribuições, obtemos
f'(x) =\frac{2}{3}\,\sin^{-\frac{1}{3}}x\;\cos x +3\,\sin x\;\cos^{-4}x.

Resposta

f'(x) =\frac{2\cos x}{3\sin^{\frac{1}{3}}x} +\frac{3\sin x}{\cos^{4}x}.

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