Determine a derivada da função dada:
f(t)=2 t \operatorname{sen} t-\left(t^{2}-2\right) \cos t;

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a derivada da função
f(t)=2t\sin t - (t^2-2)\cos t.
O conteúdo principal envolve aplicação da regra do produto e das derivadas de \sin t e \cos t.

Passo 2

Para o primeiro termo 2t\sin t, aplique a regra do produto com u(t)=2t e v(t)=\sin t. Temos u'(t)=2 e v'(t)=\cos t, logo
(2t\sin t)' = u'v + uv' = 2\sin t + 2t\cos t.

Passo 3

Para o segundo termo (t^2-2)\cos t, use a regra do produto com u(t)=t^2-2 e v(t)=\cos t. Aqui u'(t)=2t e v'(t)=-\sin t, então
[(t^2-2)\cos t]' = u'v + uv' = 2t\cos t - (t^2-2)\sin t.
Como esse termo está subtraído em f(t), sua derivada entra com sinal negativo:
-[(t^2-2)\cos t]' = -2t\cos t + (t^2-2)\sin t.

Passo 4

Somando as parcelas obtidas:
f'(t) = \bigl(2\sin t + 2t\cos t\bigr) + \bigl(-2t\cos t + (t^2-2)\sin t\bigr).
Os termos 2t\cos t se cancelam, restando
f'(t) = 2\sin t + (t^2-2)\sin t = (2 + t^2 - 2)\sin t = t^2\sin t.

Resposta

f'(t) = t^2\sin t

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