Determine a derivada da função f(x)=\operatorname{arctg}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{arctg}(x).
O conteúdo aqui é a derivada de uma função inversa e vamos usar a relação entre y=\arctan(x) e sua inversa x=\tan(y), além da identidade trigonométrica \operatorname{sec}^2(y)=1+\tan^2(y).

Passo 2

Defina
y = \operatorname{arctg}(x).
Isso significa que
x = \tan(y).

Passo 3

Diferencie implicitamente em relação a x. À esquerda vem
\frac{d}{dx}[\,x\,]=1,
e à direita, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}[\tan(y)] =\operatorname{sec}^2(y)\,\frac{dy}{dx}.
Logo, obtemos a equação
1 = \operatorname{sec}^2(y)\,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora isole \frac{dy}{dx} e use a identidade \operatorname{sec}^2(y)=1+\tan^2(y):
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\operatorname{sec}^2(y)} =\frac{1}{1+\tan^2(y)}.
Como \tan(y)=x, concluímos
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{1+x^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.

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