Seja f(x)=8 x^{3}. Determine a derivada da inversa de f.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função inversa de f(x)=8x^3. O conteúdo aqui é o uso da fórmula da derivada de uma inversa, que diz que
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, precisamos primeiro encontrar explicitamente f^{-1}(x). Seja y=f(x)=8x^3. Invertendo,
y=8x^3 \quad\Longrightarrow\quad x=\bigl(y/8\bigr)^{1/3}.
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f^{-1}(x)=\bigl(x/8\bigr)^{1/3}.

Passo 3

Em seguida, calculamos f'(x). Como f(x)=8x^3,
f'(x)=24x^2.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada da inversa:
(f^{-1})'(y) =\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)} =\frac{1}{24\bigl(f^{-1}(y)\bigr)^2}.

Passo 5

Basta substituir f^{-1}(y)=(y/8)^{1/3} e simplificar:
\bigl(f^{-1}(y)\bigr)^2 =\bigl(y/8\bigr)^{2/3} =\frac{y^{2/3}}{8^{2/3}} =\frac{y^{2/3}}{4},
portanto
(f^{-1})'(y) =\frac{1}{24\cdot(y^{2/3}/4)} =\frac{1}{6\,y^{2/3}}.

Resposta

(f^{-1})'(x)=\frac{1}{6\,x^{2/3}}.

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