Determine a derivada da função f(x)=x^n cdot ln x com n natural.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^nln x com n natural e pede f'(x).
Aqui vamos usar a regra do produto, a derivada de potência e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Sejam
u(x)=x^n e v(x)=ln x.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos separadamente:
u'(x)=ddxl(x^nr)=n,x^n-1,
v'(x)=ddxl(ln xr)=1x

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), vem
f'(x)=n,x^n-1ln x + x^ncdot1x

Passo 5

No segundo termo simplificamos x^n!/x = x^n-1 e depois fatoramos x^n-1:
f'(x)=n,x^n-1ln x + x^n-1 = x^n-1l(nln x + 1r)

Resposta

f'(x)=x^n-1l(nln x+1r)

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