Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=1x+e^x no ponto de abscissa x0=-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1x+e^x
e pede a reta tangente ao seu gráfico no ponto de abscissa x0=-1.
Para isso, precisamos de dois ingredientes: o valor f(x0) (para saber o ponto de tangência) e a derivada f'(x0) (que será o coeficiente angular da reta).

Passo 2

Primeiro calculamos f(x0):
f(-1)=1-1+e^-1=-1+1e
Agora a derivada de f é
f'(x)=l(tfrac1xr)'+(e^x)' =-1x^2+e^x,
portanto
f'(-1)=-1(-1)^2+e^-1=-1+1e

Passo 3

A fórmula ponto-reta para a tangente em x0 é
y - f(x0) ;=; f'(x0),l(x - x0r)
Substituindo x0=-1, f(-1)=-1+tfrac1e e f'(-1)=-1+tfrac1e, obtemos
y - l(-1+1er) =l(-1+1er),(x+1)
Podemos também escrever em forma y=mx+b. Como
m=-1+1e, b=underbracel(-1+tfrac1er)cdot1mcdot1+ l(-1+1er) =2l(1e-1r),
fica
y=l(1e-1r),x ;+;2l(1e-1r)

Resposta

y - l(-1+1er) =l(-1+1er),(x+1)
ou, equivalentemente,
y=l(1e-1r)x ;+;2l(1e-1r)

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