Determine a derivada da função. Simplifique quando possível.
y=sec ^-1(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=sec^-1(2x). Aqui o conteúdo é derivada de função inversa (no caso a arcosecante) junto com a regra da cadeia, pois a função interna é u=2x.

Passo 2

Sabendo que
ddul[sec^-1(u)r] =1lvert urvertraizu^2-1,
aplicamos essa fórmula à nossa função inversa, lembrando que u=2x.

Passo 3

Pela regra da cadeia temos
dydx =ddul[sec^-1(u)r]|u=2xcdotdudx =1lvert 2xrvertraiz(2x)^2-1cdot 2

Passo 4

Agora simplificamos:
dydx =2lvert 2xrvertraiz4x^2-1 =22lvert xrvertraiz4x^2-1 =1lvert xrvertraiz4x^2-1

Resposta

dydx =1lvert xrvertraiz4x^2-1

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