Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=e^t^2 i-(2 t-1)^2 j+ln (1-3 t) k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=e^t^2,i - (2t-1)^2,j + ln(1-3t),k
e pede r'(t). O conteúdo aqui é derivação de funções compostas em cada componente, aplicando regra da cadeia.

Passo 2

Para a componente em i, temos x(t)=e^t^2. Usando a regra da cadeia para e^u(t):
ddte^t^2 = e^t^2cdotddt(t^2) = e^t^2cdot 2t

Passo 3

Para a componente em j, temos y(t)=-(2t-1)^2. Primeiro derivamos (2t-1)^2 como 2(2t-1)cdot2=4(2t-1) e depois aplicamos o sinal negativo:
ddtl[-(2t-1)^2r] = -,4(2t-1)

Passo 4

Para a componente em k, z(t)=ln(1-3t). A derivada de ln(u(t)) é u'(t)/u(t), aqui u(t)=1-3t e u'(t)=-3, então
ddtln(1-3t) = -31-3t

Resposta

r'(t) = 2t,e^t^2,i ;-; 4(2t-1),j ;-;31-3t,k

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