Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
13+1 cdot 43 cdot 5+1 cdot 4 cdot 73 cdot 5 cdot 7+1 cdot 4 cdot 7 cdot 103 cdot 5 cdot 7 cdot 9+cdots +1 cdot 4 cdot 7 cdot cdots cdot(3 n-2)3 cdot 5 cdot 7 cdot cdots cdot(2 n+1)+cdots

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
an = 1cdot4cdot7cdots(3n-2)3cdot5cdot7cdots(2n+1)
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = prodk=1^n+13k-22k+1prodk=1^n3k-22k+1 = 3(n+1)-22(n+1)+1 = 3n+12n+3

Passo 3

Tomando o limite da razão, obtemos
limntoinfty3n+12n+3 = 32 > 1
Como o limite é maior que 1, os termos an não tendem a zero e o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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