Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=t+1t^2+1 i+t e^t j+sen^2 t k

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t)=t+1t^2+1,i+t e^t,j+sen^2t,k
Para isso usamos derivada de função vetorial componente a componente, aplicando regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia conforme cada caso.

Passo 2

Derivando a primeira componente
x(t)=t+1t^2+1
pela regra do quociente l(tfracuvr)'=u'v-uv'v^2, com u=t+1 e v=t^2+1:
u'=1, v'=2t
x'(t)=1cdot(t^2+1)-(t+1)cdot2t(t^2+1)^2 =t^2+1-2t^2-2t(t^2+1)^2 =-t^2-2t+1(t^2+1)^2

Passo 3

Derivando a segunda componente
y(t)=t,e^t
pela regra do produto (uv)'=u'v+uv', com u=t e v=e^t:
u'=1, v'=e^t
y'(t)=1cdot e^t+tcdot e^t=(1+t)e^t

Passo 4

Derivando a terceira componente
pela regra da cadeia , que é

Resposta

r'(t) =-t^2-2t+1(t^2+1)^2,i +(1+t)e^t,j +sen(2t),k

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