Determine a derivada da função vetorial.
x=t^{2}, \quad y=t^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função vetorial cujas componentes são \,x=t^{2}\, e \,y=t^{3}\,.
Informações dadas:
  • \,x(t)=t^{2}\,
  • \,y(t)=t^{3}\,
    A pergunta é: qual é a derivada da função vetorial associada a essas componentes?

Passo 2

Primeiro, vamos escrever explicitamente a função vetorial. Se chamamos \mathbf{r}(t) a posição no plano em função de t, então temos
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle=\langle t^{2},t^{3}\rangle.
Agora, o conceito importante: a derivada de uma função vetorial é obtida componente a componente. Ou seja, para
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle,
a derivada \mathbf{r}'(t) tem componentes \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Essa propriedade vem da definição de derivada limite aplicada a cada componente e da linearidade do limite.

Passo 3

Vamos lembrar a regra que vamos usar para diferenciar potências de t. Regra do poder (power rule): para inteiro n\ge0,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
O que isso significa: para diferenciar t^{n} multiplica-se por n e diminui-se o expoente em 1. Exemplos rápidos: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t, \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}. Vou aplicar isso às nossas duas componentes.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} usando a regra do poder para \,x(t)=t^{2}\,:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
Explicando passo a passo: o expoente original é 2; multiplica-se por 2 e reduz-se o expoente para 1, ficando 2t^{1}, que escrevemos simplesmente 2t.

Passo 5

Calcular \dfrac{dy}{dt} usando a mesma regra para \,y(t)=t^{3}\,:
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.
Passo a passo: o expoente original é 3; multiplica-se por 3 e reduz-se o expoente para 2, ficando 3t^{2}.

Passo 6

Interpretação e observação útil para prova: a derivada vetorial \mathbf{r}'(t) tem componentes \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}, que encontramos acima. Essa derivada representa o vetor tangente à curva paramétrica em cada ponto. Uma quantidade frequentemente pedida em provas é a inclinação da tangente em termos de t:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^{2}}{2t}=\frac{3}{2}\,t\quad\text{(para \(t\neq0\)).}
Isso mostra como usar as derivadas das componentes para obter a derivada implícita dy/dx.

Resposta

\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\,3t^{2}\rangle

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