Determine a derivada da função vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função vetorial cujas componentes são
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
-
A pergunta é: qual é a derivada da função vetorial associada a essas componentes?
Passo 2
Primeiro, vamos escrever explicitamente a função vetorial. Se chamamos
a posição no plano em função de
, então temos
Agora, o conceito importante: a derivada de uma função vetorial é obtida componente a componente. Ou seja, para
a derivada
tem componentes
e
. Essa propriedade vem da definição de derivada limite aplicada a cada componente e da linearidade do limite.
Passo 3
Vamos lembrar a regra que vamos usar para diferenciar potências de
. Regra do poder (power rule): para inteiro
,
O que isso significa: para diferenciar
multiplica-se por
e diminui-se o expoente em 1. Exemplos rápidos:
,
. Vou aplicar isso às nossas duas componentes.
Passo 4
Calcular
usando a regra do poder para
:
Explicando passo a passo: o expoente original é
; multiplica-se por
e reduz-se o expoente para
, ficando
, que escrevemos simplesmente
.
Passo 5
Calcular
usando a mesma regra para
:
Passo a passo: o expoente original é
; multiplica-se por
e reduz-se o expoente para
, ficando
.
Passo 6
Interpretação e observação útil para prova: a derivada vetorial
tem componentes
e
, que encontramos acima. Essa derivada representa o vetor tangente à curva paramétrica em cada ponto. Uma quantidade frequentemente pedida em provas é a inclinação da tangente em termos de
:
Isso mostra como usar as derivadas das componentes para obter a derivada implícita
.