Questão 48 (Grupo 45-48) Calcule o comprimento exato da curva polar.
r=2(1+\cos \theta)
Avalia: Comprimento de arco de uma cardioide completa; integral com simplificação trigonométrica avançada.
Fórmula: L=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta
Revisão: r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}=8(1+\cos \theta); identidade 1+\cos \theta=2 \cos ^{2}(\theta / 2).

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento exato da curva polar completa definida por r=2(1+\cos\theta).
Informações relevantes fornecidas:
  • Fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares: \displaystyle L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\\ d\theta.
  • A função radial é r(\theta)=2(1+\cos\theta) para \theta variando de 0 a 2\pi.
  • Na revisão foi dada a simplificação \displaystyle r^{2}+\left(r'\right)^{2}=8(1+\cos\theta) e a identidade trigonométrica \displaystyle 1+\cos\theta=2\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 2

Relembrando a fórmula e o que cada símbolo significa (aula rápida e prática):
  • \displaystyle r(\theta) é a distância do ponto ao polo (origem) como função do ângulo \theta.
  • \displaystyle \frac{dr}{d\theta} é a derivada de r em relação a \theta.
  • A fórmula \displaystyle L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\\ d\theta vem da expressão do elemento de arco em coordenadas polares; ela combina a variação radial e angular para dar o comprimento.
    Vamos aplicar essa fórmula diretamente à r(\theta) dada, calculando primeiro \displaystyle \frac{dr}{d\theta}.

Passo 3

Calcular a derivada \displaystyle \frac{dr}{d\theta}:
r(\theta)=2(1+\cos\theta)\quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{d\theta}=2\cdot(-\sin\theta)=-2\sin\theta.
Aqui foi usada a regra básica: derivada de \cos\theta é -\sin\theta.

Passo 4

Calcular r^{2}+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^{2} passo a passo:
r^{2}=4(1+\cos\theta)^{2}=4(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta).
\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}=(-2\sin\theta)^{2}=4\sin^{2}\theta.
Somando:
r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}=4\bigl(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr).
Usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1:
r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}=4\bigl(1+2\cos\theta+1\bigr)=4(2+2\cos\theta)=8(1+\cos\theta),
confirmando a simplificação dada no enunciado.

Passo 5

Usar a identidade de meia-ângulo para simplificar a raiz:
A identidade \displaystyle \cos\theta=2\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)-1 implica
1+\cos\theta=2\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Portanto
r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}=8\cdot 2\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=16\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 6

Extrair a raiz quadrada do integrando:
\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}=\sqrt{16\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}=4\left|\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|.
Observação didática: o valor absoluto aparece porque a raiz quadrada devolve um número não negativo, enquanto \cos(\theta/2) pode ser negativo em parte do intervalo de integração. Precisamos tratar isso ao integrar em [0,2\pi].

Passo 7

Transformar a integral usando substituição para lidar com o valor absoluto de forma simples: faça \displaystyle \varphi=\frac{\theta}{2}, então \displaystyle d\theta=2\,d\varphi e quando \theta vai de 0 a 2\pi, \varphi vai de 0 a \pi. Assim
L=\int_{0}^{2\pi}4\left|\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\,d\theta =4\cdot 2\int_{0}^{\pi}\left|\cos\varphi\right|\,d\varphi =8\int_{0}^{\pi}\left|\cos\varphi\right|\,d\varphi.
Explicando: a substituição reduz o problema a integrar |\cos\varphi| num intervalo onde fica fácil usar simetria.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\left|\cos\varphi\right|\,d\varphi usando simetria:
A função \left|\cos\varphi\right| é simétrica em torno de \varphi=\frac{\pi}{2}. Então
\int_{0}^{\pi}\left|\cos\varphi\right|\,d\varphi=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi\,d\varphi.
Agora integrar \cos\varphi:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi\,d\varphi=\bigl[\sin\varphi\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1-0=1.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\left|\cos\varphi\right|\,d\varphi=2\cdot 1=2.
Substituindo de volta em L:
L=8\cdot 2=16.

Passo 9

Interpretação final e motivação: o resultado L=16 é o comprimento exato da cardioide completa dada. Essa simplificação foi possível porque r^{2}+(r')^{2} se reduz a um quadrado simples múltiplo de \cos^{2}(\theta/2), o que transforma a raiz em um valor absoluto simples e a integral em uma integral elementar de cosseno. Boa notícia: você pode repetir esse procedimento em provas — calcule r', some r^{2}+(r')^{2}, procure identidades trigonométricas que transformem em um quadrado perfeito, e trate o valor absoluto com uma substituição ou quebra de intervalo.

Resposta

16

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