Questão 48 (Grupo 45-48) Calcule o comprimento exato da curva polar.
r=2(1+\cos \theta)
Avalia: Comprimento de arco de uma cardioide completa; integral com simplificação trigonométrica avançada.
Fórmula: L=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta
Revisão: r^{2}+\left(r^{\prime}\right)^{2}=8(1+\cos \theta); identidade 1+\cos \theta=2 \cos ^{2}(\theta / 2).
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento exato da curva polar completa definida por r=2(1+\cos\theta).
Informações relevantes fornecidas:
Fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares: \displaystyle L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\\ d\theta.
A função radial é r(\theta)=2(1+\cos\theta) para \theta variando de 0 a 2\pi.
Na revisão foi dada a simplificação \displaystyle r^{2}+\left(r'\right)^{2}=8(1+\cos\theta) e a identidade trigonométrica \displaystyle 1+\cos\theta=2\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Passo 2
Relembrando a fórmula e o que cada símbolo significa (aula rápida e prática):
\displaystyle r(\theta) é a distância do ponto ao polo (origem) como função do ângulo \theta.
\displaystyle \frac{dr}{d\theta} é a derivada de r em relação a \theta.
A fórmula \displaystyle L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\\ d\theta vem da expressão do elemento de arco em coordenadas polares; ela combina a variação radial e angular para dar o comprimento.
Vamos aplicar essa fórmula diretamente à r(\theta) dada, calculando primeiro \displaystyle \frac{dr}{d\theta}.
Passo 3
Calcular a derivada \displaystyle \frac{dr}{d\theta}:
Observação didática: o valor absoluto aparece porque a raiz quadrada devolve um número não negativo, enquanto \cos(\theta/2) pode ser negativo em parte do intervalo de integração. Precisamos tratar isso ao integrar em [0,2\pi].
Passo 7
Transformar a integral usando substituição para lidar com o valor absoluto de forma simples: faça \displaystyle \varphi=\frac{\theta}{2}, então \displaystyle d\theta=2\,d\varphi e quando \theta vai de 0 a 2\pi, \varphi vai de 0 a \pi. Assim
Explicando: a substituição reduz o problema a integrar |\cos\varphi| num intervalo onde fica fácil usar simetria.
Passo 8
Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\left|\cos\varphi\right|\,d\varphi usando simetria:
A função \left|\cos\varphi\right| é simétrica em torno de \varphi=\frac{\pi}{2}. Então
Interpretação final e motivação: o resultado L=16 é o comprimento exato da cardioide completa dada. Essa simplificação foi possível porque r^{2}+(r')^{2} se reduz a um quadrado simples múltiplo de \cos^{2}(\theta/2), o que transforma a raiz em um valor absoluto simples e a integral em uma integral elementar de cosseno. Boa notícia: você pode repetir esse procedimento em provas — calcule r', some r^{2}+(r')^{2}, procure identidades trigonométricas que transformem em um quadrado perfeito, e trate o valor absoluto com uma substituição ou quebra de intervalo.