Prove que, sendo K um corpo, então:
I(K)={0,1}

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, em qualquer corpo K, os únicos elementos que satisfazem a condição de idempotência
e^2 = e
são 0 e 1. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos de não ter divisores de zero: se a\,b=0 em K, então ou a=0 ou b=0.

Passo 2

Seja e\in I(K). Por definição de idempotente, temos
e^2 = e.
Subtraindo e dos dois lados, chega-se a
e^2 - e = 0.

Passo 3

Fatorando a expressão acima, obtemos
e(e - 1) = 0.
Como K é um corpo, não existem divisores de zero. Logo, dessa igualdade decorre que ou
e = 0 \quad\text{ou}\quad e - 1 = 0,
isto é, ou e=0 ou e=1.

Passo 4

Só resta verificar que 0 e 1 de fato são idempotentes:
0^2 = 0 \quad\text{e}\quad 1^2 = 1.
Portanto, não há nenhum outro elemento de K com essa propriedade além de 0 e 1.

Resposta

I(K) = \{0,1\}.

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