Prove que, sendo
um corpo, então:
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, em qualquer corpo
, os únicos elementos que satisfazem a condição de idempotência
são
e
. Vamos usar a propriedade fundamental de corpos de não ter divisores de zero: se
em
, então ou
ou
.
Passo 2
Seja
. Por definição de idempotente, temos
Subtraindo
dos dois lados, chega-se a
Passo 3
Fatorando a expressão acima, obtemos
Como
é um corpo, não existem divisores de zero. Logo, dessa igualdade decorre que ou
isto é, ou
ou
.
Passo 4
Só resta verificar que
e
de fato são idempotentes:
Portanto, não há nenhum outro elemento de
com essa propriedade além de
e
.