Determine a derivada das funçōes:
f(x)=(1-3x)^x+ln (ln (x^10+2))+log 2^x^2+arccos (1raizx^2+1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=(1-3x)^x+lnl(ln(x^10+2)r)+log2(x^2)+arccos!l(tfrac1raizx^2+1r)
Vamos usar:
– Regra da exponencial para funções do tipo a(x)^b(x).
– Cadeia para ln(ln(cdot)).
– Mudança de base para log2(x^2).
– Derivada de arccos composta.

Passo 2

Para
g(x)=l(1-tfrac3xr)^x
escrevemos
g(x)=e^,xlnl(1-tfrac3xr),
então
g'(x) =g(x),ddxl[xlnl(1-tfrac3xr)r]
Chamando h(x)=xln(1-tfrac3x), tem-se
h'(x) =lnl(1-tfrac3xr) + xcdot11-tfrac3xcdot3x^2 =lnl(1-tfrac3xr) +3xl(1-tfrac3xr)
Como x(1-3/x)=x-3,
g'(x) =l(1-tfrac3xr)^x l[lnl(1-tfrac3xr)+tfrac3x-3r]

Passo 3

Para
f2(x)=lnl(ln(x^10+2)r)
façamos u(x)=ln(x^10+2). Então
f2'(x) =u'(x)u(x) =10x^9x^10+2ln(x^10+2) =10x^9(x^10+2),ln(x^10+2)

Passo 4

Para
f3(x)=log2(x^2) =ln(x^2)ln2 =2ln xln2,
a derivada é
f3'(x)=2x,ln2

Passo 5

Para
f4(x)=arccos!l(tfrac1raizx^2+1r),
defina v(x)=(x^2+1)^-1/2. Então
f4'(x) =-v'(x)raiz1-v(x)^2
Calcula-se
v'(x)=-x(x^2+1)^3/2, raiz1-v(x)^2 =xraizx^2+1
Para x>0, isso leva a
f4'(x) =x/(x^2+1)^3/2,x/raizx^2+1, =1x^2+1

Passo 6

Somando tudo:
f'(x) =l(1-tfrac3xr)^x!l[lnl(1-tfrac3xr)+tfrac3x-3r] +10x^9(x^10+2),ln(x^10+2) +2x,ln2 +1x^2+1

Resposta

f'(x) =l(1-tfrac3xr)^x!l[lnl(1-tfrac3xr)+tfrac3x-3r] +10x^9(x^10+2),ln(x^10+2) +2x,ln2 +1x^2+1

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