Inverta a ordem de integração:
integral0^1[integralx^2^1 f(x, y) d y] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
integral0^1l[integralx^2^1f(x,y),dyr]dx
Aqui o conteúdo é compreensão de domínio de integração em (x,y) e troca da ordem de integração.

Passo 2

Identificamos o domínio RsubsetR^2 dado por
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=1
Geometricamente, é a região entre a curva y=x^2 e a reta y=1, para x de 0 a 1.

Passo 3

Para inverter, projetamos R no eixo y. Como x^2<= y<=1 e 0<= x<=1, temos 0<= y<=1.

Passo 4

Fixado um yin[0,1], o ponto (x,y) satisfaz x^2<= y e x>=0, ou seja
0 <= x <= raizy
Portanto, ao trocar a ordem, primeiro integramos em x de 0 a raizy, depois em y de 0 a 1.

Resposta

integral0^1integralx^2^1f(x,y),dy,dx =integral0^1integral0^raizyf(x,y),dx,dy

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