Inverta a ordem de integração:
integral0^1[integraly-1^2-2 y f(x, y) d x] d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral iterada
integral0^1!!integraly-1^2-2y f(x,y),dx,dy.
Isso envolve identificar a região de integração no plano xy e, a seguir, reescrever a integral integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

A região R é
R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y-1<= x<=2-2y
As fronteiras são dadas pelas retas x=y-1, x=2-2y e pelas linhas horizontais y=0 e y=1.

Passo 3

Para achar o intervalo de x, observamos os extremos:
  • Em y=0 temos xin[-1,2].
  • Em y=1 a intersecção das duas retas é x=0.
    Logo a projeção de R no eixo x é o intervalo [-1,2].

Passo 4

Fixado xin[-1,2], as condições y-1<= x e x<=2-2y viram
y<= x+1, y<= 2-x2, y>=0
O limite superior de y é o mínimo entre x+1 e 2-x2. Verifica-se que
se -1<= x<=0, então x+1<=2-x2, se 0<= x<=2, então 2-x2<= x+1 ãã

Passo 5

Portanto a integral com ordem trocada fica dividida em dois pedaços:
integral0^1!!integraly-1^2-2yf(x,y),dx,dy = integral-1^0!!integral0^,x+1f(x,y),dy,dx + integral0^2!!integral0^2-x2f(x,y),dy,dx

Resposta

boxed integral0^1integraly-1^2-2yf(x,y),dx,dy = integral-1^0integral0^x+1f(x,y),dy,dx + integral0^2integral0^2-x2f(x,y),dy,dx

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