Determine se existe ou não f^{\prime}(0)\). \(f(x)= \begin{cases}2 x-1, & x \geq 0 \\\ x^{2}+2 x+7, & x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe ou não f'(0)\) para a função por partes \[f(x)= \begin{cases}2 x-1, & x \geq 0 \\[4pt] x^{2}+2 x+7, & x<0.\end{cases}
Informações dadas:
  • Para x\ge 0\], \(f(x)=2x-1.
  • Para x<0, f(x)=x^{2}+2x+7.
  • Quer-se saber se a derivada de f em x=0, isto é f'(0), existe (é um número real) ou não.]

Passo 2

Lembrete e ideia principal (aula rápida e intuitiva sobre derivada no ponto).
  • A derivada de f em x=0 é o limite (se existir e for finito)
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
  • Para existir esse limite é necessário que os limites laterais coincidam:
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
devam existir e ser iguais.
  • Um fato importante: se f é diferenciável em 0 então f é contínua em 0. Em palavras: diferenciabilidade implica continuidade. Explicação curta: se f'(0) existe, então \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f'(0) é finito; multiplicando por h e fazendo h\to0 vê-se que f(0+h)-f(0)\to0, logo f(0+h)\to f(0).
Portanto, antes de perder tempo com quocientes, é bom checar a continuidade em 0: se f não for contínua em 0, então já podemos concluir que f'(0) não existe.

Passo 3

Verificar a continuidade em 0.
  • Valor de f em 0: como a definição usa a ramo x\ge0 quando x=0,
f(0)=2\cdot 0-1=-1.
  • Limite pela direita x\to0^+: usando a expressão para x\ge0,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x-1)=2\cdot0-1=-1.
  • Limite pela esquerda x\to0^-: usando a expressão para x<0,
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^{2}+2x+7)=0^{2}+2\cdot0+7=7.
Observação clara: os limites laterais são diferentes: pela direita dá -1 e pela esquerda dá 7. Logo
\lim_{x\to0}f(x)
não existe e, em particular, f não é contínua em 0 porque \lim_{x\to0}f(x)\neq f(0) (na verdade o limite não existe).
Pelo fato explicado no passo anterior (diferenciabilidade implica continuidade), concluímos imediatamente que f'(0) não existe.

Passo 4

(Para fixar bem a ideia: cálculo explícito dos quocientes laterais que definem a derivada.)
  • Cálculo do quociente para h\to0^+:
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{(2h-1)-(-1)}{h}=\frac{2h}{h}=2.
Portanto
\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=2.
  • Cálculo do quociente para h\to0^-: aqui f(0+h)=h^{2}+2h+7 e f(0)=-1, logo
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2}+2h+7-(-1)}{h}=\frac{h^{2}+2h+8}{h}=h+2+\frac{8}{h}.
Quando h\to0^- o termo \dfrac{8}{h} tende a -\infty, portanto
\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
não existe como número finito (diverge para -\infty). Logo os dois limites laterais dos quocientes não coincidem como números finitos (um é 2, o outro não é finito).
Isto confirma de forma direta e completa que f'(0) não existe.
Observação final: cuidado com um engano comum — se alguém apenas derivar cada ramo e avaliar na fronteira obtém para o ramo x\ge0 derivada 2 e para o ramo x<0 derivada em 0 igual a 2 também (pois derivada de x^{2}+2x+7 é 2x+2 e em x=0 2). Isso pode enganar pensando que f'(0)=2. Mas isso ignora que a derivada requer o uso de f(0) na definição do quociente; como f(0) pertence ao ramo da direita (valor -1) e o ramo da esquerda se aproxima de 7, o quociente pela esquerda diverge. Assim, apesar das derivadas formais dos ramos coincidirem em 0, a descontinuidade no valor de f(0) impede a existência de f'(0).

Passo 5

Conclusão resumida e incentivo: a função tem salto (valores próximos de 0 pela esquerda estão perto de 7, enquanto f(0)=-1), então não é contínua em 0 e, consequentemente, não é diferenciável em 0. Mesmo que as derivadas formais dos ramos coincidam numericamente em 0, a definição de derivada exige o limite do quociente baseado em f(0) — e esse limite lateral pela esquerda não é finito. Você fez bem em checar a continuidade primeiro; isso resolve muita confusão.

Resposta

f'(0) não existe.

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