Determine se existe ou não
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe ou não
Informações dadas:
- Para .
- Para
, . - Quer-se saber se a derivada de
em , isto é , existe (é um número real) ou não.]
Passo 2
Lembrete e ideia principal (aula rápida e intuitiva sobre derivada no ponto).
- A derivada de
em é o limite (se existir e for finito)
- Para existir esse limite é necessário que os limites laterais coincidam:
devam existir e ser iguais.
- Um fato importante: se
é diferenciável em então é contínua em . Em palavras: diferenciabilidade implica continuidade. Explicação curta: se existe, então é finito; multiplicando por e fazendo vê-se que , logo .
Portanto, antes de perder tempo com quocientes, é bom checar a continuidade em
: se
não for contínua em
, então já podemos concluir que
não existe.
Passo 3
Verificar a continuidade em
.
- Valor de
em : como a definição usa a ramo quando ,
- Limite pela direita
: usando a expressão para ,
- Limite pela esquerda
: usando a expressão para ,
Observação clara: os limites laterais são diferentes: pela direita dá
e pela esquerda dá
. Logo
não existe e, em particular,
não é contínua em
porque
(na verdade o limite não existe).
Pelo fato explicado no passo anterior (diferenciabilidade implica continuidade), concluímos imediatamente que
não existe.
Passo 4
(Para fixar bem a ideia: cálculo explícito dos quocientes laterais que definem a derivada.)
- Cálculo do quociente para
:
Portanto
- Cálculo do quociente para
: aqui e , logo
Quando
o termo
tende a
, portanto
não existe como número finito (diverge para
). Logo os dois limites laterais dos quocientes não coincidem como números finitos (um é
, o outro não é finito).
Isto confirma de forma direta e completa que
não existe.
Observação final: cuidado com um engano comum — se alguém apenas derivar cada ramo e avaliar na fronteira obtém para o ramo
derivada
e para o ramo
derivada em
igual a
também (pois derivada de
é
e em
dá
). Isso pode enganar pensando que
. Mas isso ignora que a derivada requer o uso de
na definição do quociente; como
pertence ao ramo da direita (valor
) e o ramo da esquerda se aproxima de
, o quociente pela esquerda diverge. Assim, apesar das derivadas formais dos ramos coincidirem em
, a descontinuidade no valor de
impede a existência de
.
Passo 5
Conclusão resumida e incentivo: a função tem salto (valores próximos de
pela esquerda estão perto de
, enquanto
), então não é contínua em
e, consequentemente, não é diferenciável em
. Mesmo que as derivadas formais dos ramos coincidam numericamente em
, a definição de derivada exige o limite do quociente baseado em
— e esse limite lateral pela esquerda não é finito. Você fez bem em checar a continuidade primeiro; isso resolve muita confusão.