Determine a derivada das funções abaixo:
y=\frac{3}{2\left(x^{2}-4 x\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{3}{2\left(x^{2}-4 x\right)^{2}}
e pede a derivada y'. Vou listar o que temos: a constante numeradora 3, o fator 2 no denominador e uma potência negativa implícita em \left(x^{2}-4x\right)^{2}. O objetivo é calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Reescrevo a função de uma forma que facilite aplicar regras de derivação:
y=\frac{3}{2}\,(x^{2}-4x)^{-2}.
Aqui transformei \dfrac{1}{(x^{2}-4x)^{2}} em (x^{2}-4x)^{-2} e destaquei a constante \dfrac{3}{2}.

Passo 3

Vou usar duas regras básicas:
  • Regra da constante: se y=c\cdot g(x) com c constante, então y'=c\cdot g'(x).
  • Regra da cadeia + regra da potência: se g(x)=(u(x))^{n} então
g'(x)=n\,(u(x))^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna e n o expoente. Aplicarei isso com u(x)=x^{2}-4x e n=-2.

Passo 4

Calculo a derivada da função interna:
u(x)=x^{2}-4x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=2x-4.
Expliquei termo a termo: derivada de x^{2} é 2x e de -4x é -4.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia sobre y=\dfrac{3}{2}\,(u(x))^{-2}:
y'=\frac{3}{2}\cdot(-2)\,(u(x))^{-3}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2}-4x e u'(x)=2x-4, fica
y'=\frac{3}{2}\cdot(-2)\,(x^{2}-4x)^{-3}\cdot(2x-4).

Passo 6

Simplifico os coeficientes e fatorizações:
\frac{3}{2}\cdot(-2)=-3,
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y'=-3(2x-4)(x^{2}-4x)^{-3}.
Fatorando 2x-4=2(x-2) e reunindo:
y'=-3\cdot 2\,(x-2)(x^{2}-4x)^{-3}=-6(x-2)(x^{2}-4x)^{-3}.
Voltando para forma de fração positiva no denominador:
y'=-\frac{6(x-2)}{(x^{2}-4x)^{3}}.

Passo 7

Observação rápida: a derivada não está definida quando x^{2}-4x=0, isto é para x=0 ou x=4, pois aí aparecem potências negativas/denominadores nulos.

Resposta

-\dfrac{6(x-2)}{(x^{2}-4x)^{3}}

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