Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar a sua derivada em relação a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se de
(ou ), ou seja, a taxa de variação de em relação a .
Passo 2
Para facilitar a diferenciação, vou reescrever a raiz como uma potência. Isso é uma transformação algébrica simples e muito útil:
Reescrever assim permite usar a regra do poder (power rule) combinada com a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar as duas regras antes de aplicar.
Passo 3
Regra do poder (power rule): se
é uma função de
e temos uma função do tipo
com
constante, a derivada em relação a
de
é dada por
Aqui:
-
representa uma função qualquer dependente de (por exemplo ); -
é um número real (no nosso caso ); -
é a derivada de em relação a (essa parte vem da regra da cadeia).
Exemplo curto para fixar: se
, então
,
, e
Passo 4
Regra da cadeia (chain rule) explicada de forma simples: quando uma função
é composta,
, a derivada é
Ou seja, diferenciar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna. No nosso caso a função externa é
e a função interna é
.
Passo 5
Aplicando as regras ao nosso problema. Temos
e
. Pela regra do poder + cadeia:
Agora calculo
. Como
, pela regra da soma e do poder:
Passo 6
Substituindo
na expressão da derivada:
Simplificando o fator
:
Voltando a escrever
como
:
Finalmente, reescrevendo a potência negativa como raiz no denominador:
Passo 7
Observações finais (úteis na prova):
- O denominador
nunca é zero para porque . Logo a derivada está definida para todo real. - Dica prática: reescrever raízes em potências e aplicar power rule + chain rule é quase sempre o caminho mais rápido em prova quando aparecem funções compostas desse tipo.