Determine a derivada das funções abaixo:
y=\sqrt{x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado nos dá a função y=\sqrt{x^{2}+5} e pede para determinar a sua derivada em relação a x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y=\sqrt{x^{2}+5}.
  • Precisa-se de \dfrac{dy}{dx} (ou y'), ou seja, a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Para facilitar a diferenciação, vou reescrever a raiz como uma potência. Isso é uma transformação algébrica simples e muito útil:
y=\sqrt{x^{2}+5}=(x^{2}+5)^{1/2}.
Reescrever assim permite usar a regra do poder (power rule) combinada com a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar as duas regras antes de aplicar.

Passo 3

Regra do poder (power rule): se u é uma função de x e temos uma função do tipo (u)^{n} com n constante, a derivada em relação a x de (u)^{n} é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{\,n-1}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui:
  • u representa uma função qualquer dependente de x (por exemplo u=x^{2}+5);
  • n é um número real (no nosso caso n=\tfrac{1}{2});
  • \dfrac{du}{dx} é a derivada de u em relação a x (essa parte vem da regra da cadeia).
Exemplo curto para fixar: se y=(3x+1)^{2}, então u=3x+1, n=2, e
\frac{dy}{dx}=2(3x+1)\cdot\frac{d}{dx}(3x+1)=2(3x+1)\cdot3=6(3x+1).

Passo 4

Regra da cadeia (chain rule) explicada de forma simples: quando uma função y é composta, y=f(g(x)), a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Ou seja, diferenciar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna. No nosso caso a função externa é f(u)=u^{1/2} e a função interna é u(x)=x^{2}+5.

Passo 5

Aplicando as regras ao nosso problema. Temos u(x)=x^{2}+5 e y=u^{1/2}. Pela regra do poder + cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\,u^{-1/2}\cdot\frac{du}{dx}.
Agora calculo \dfrac{du}{dx}. Como u(x)=x^{2}+5, pela regra da soma e do poder:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(5)=2x+0=2x.

Passo 6

Substituindo \dfrac{du}{dx}=2x na expressão da derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\,u^{-1/2}\cdot 2x.
Simplificando o fator \tfrac{1}{2}\cdot 2:
\frac{dy}{dx}=x\,u^{-1/2}.
Voltando a escrever u como x^{2}+5:
\frac{dy}{dx}=x\,(x^{2}+5)^{-1/2}.
Finalmente, reescrevendo a potência negativa como raiz no denominador:
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}.

Passo 7

Observações finais (úteis na prova):
  • O denominador \sqrt{x^{2}+5} nunca é zero para x\in\mathbb{R} porque x^{2}+5\ge5>0. Logo a derivada está definida para todo x real.
  • Dica prática: reescrever raízes em potências e aplicar power rule + chain rule é quase sempre o caminho mais rápido em prova quando aparecem funções compostas desse tipo.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}

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