Determine a derivada das funções abaixo:
y=\ln (3 x-1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\ln(3x-1).
Informações dadas e coisas claras desde o início:
  • A função é y=\ln(3x-1).
  • O logaritmo natural \ln(\cdot) só está definido quando o argumento é positivo, ou seja precisamos ter 3x-1>0, portanto x>\tfrac{1}{3}. (Isso define o domínio onde a derivada faz sentido.)

Passo 2

Qual método vamos usar (sem calcular ainda)?
Para derivar uma composição do tipo \ln(u(x)) usa-se a regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa \ln(\cdot) em relação ao seu argumento e depois multiplicamos pela derivada do argumento u(x). Vou explicar isso com calma abaixo.

Passo 3

Entendendo a regra da cadeia aplicada a \ln(u(x)).
  • Regra conhecida: a derivada da função logaritmo natural em relação à sua variável é
\frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u},
para u>0. Aqui u é a variável “interna” do logaritmo.
  • Regra da cadeia (em palavras): se y=\ln(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}\ln(u)\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x).
Ou seja, a derivada é u'(x)/u(x).
Explicando as letras:
  • u(x) é a função que está dentro do \ln (no nosso caso u(x)=3x-1).
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema: identifique a função interna.
Defina
u(x)=3x-1.
Agora calcule a derivada de u em relação a x:
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x-1).
Saber derivar uma função linear ax+b é básico: a derivada é o coeficiente a. Então
u'(x)=3.

Passo 5

Agora aplique a fórmula da regra da cadeia para \ln(u(x)):
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3}{3x-1},
válido para x>\tfrac{1}{3} (porque o argumento do \ln precisa ser positivo).

Passo 6

Checagem rápida alternativa (opcional, só para consolidar a ideia): como 3x-1=3\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr), tem-se
\ln(3x-1)=\ln 3+\ln\!\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr).
A derivada de \ln 3 é zero e a derivada de \ln\!\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr) é \dfrac{1}{x-\tfrac{1}{3}}. Isso dá o mesmo resultado, porque
\frac{1}{x-\tfrac{1}{3}}=\frac{3}{3x-1}.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{3}{3x-1}

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