Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
.
Informações dadas e coisas claras desde o início:
- A função é
. - O logaritmo natural
só está definido quando o argumento é positivo, ou seja precisamos ter , portanto . (Isso define o domínio onde a derivada faz sentido.)
Passo 2
Qual método vamos usar (sem calcular ainda)?
Para derivar uma composição do tipo usa-se a regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa
em relação ao seu argumento e depois multiplicamos pela derivada do argumento
. Vou explicar isso com calma abaixo.
Para derivar uma composição do tipo
Passo 3
Entendendo a regra da cadeia aplicada a
.
- Regra conhecida: a derivada da função logaritmo natural em relação à sua variável é
para
. Aqui
é a variável “interna” do logaritmo.
- Regra da cadeia (em palavras): se
, então
Ou seja, a derivada é
.
Explicando as letras:
-
é a função que está dentro do (no nosso caso ). -
é a derivada de em relação a .
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema: identifique a função interna.
Defina
Defina
Agora calcule a derivada de
em relação a
:
Saber derivar uma função linear
é básico: a derivada é o coeficiente
. Então
Passo 5
Agora aplique a fórmula da regra da cadeia para
:
válido para
(porque o argumento do
precisa ser positivo).
Passo 6
Checagem rápida alternativa (opcional, só para consolidar a ideia): como
, tem-se
A derivada de
é zero e a derivada de
é
. Isso dá o mesmo resultado, porque