Determine a derivada das funções abaixo:
y=\frac{2}{3 \sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{2}{3\sqrt{1-x^{2}}}
e pede para determinar a derivada y'. Informação relevante: a expressão envolve \sqrt{1-x^{2}}, portanto o domínio natural da função (onde está definida) é |x|<1.

Passo 2

Primeiro deixamos a função numa forma algébrica mais conveniente para derivar, escrevendo a raiz como potência:
y=\frac{2}{3}(1-x^{2})^{-1/2}.
Aqui foi só uma reescrita: \sqrt{1-x^{2}}=(1-x^{2})^{1/2} e \dfrac{1}{(1-x^{2})^{1/2}}=(1-x^{2})^{-1/2}.

Passo 3

Vou lembrar as regras que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Regra do fator constante: se y=c\cdot f(x) com c constante, então y'=c\cdot f'(x).
  • Regra da potência composta (power rule + chain rule): se y=u(x)^{n}, então
\frac{dy}{dx}=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada da função interna u(x).
No nosso caso teremos u(x)=1-x^{2} e n=-\tfrac{1}{2}. Também precisaremos de
\frac{d}{dx}(1-x^{2}) = -2x.

Passo 4

Aplicando as regras passo a passo começando de y=\dfrac{2}{3}(1-x^{2})^{-1/2}:
y'=\frac{2}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(1-x^{2})^{-3/2}\cdot(1-x^{2})'.
Substituindo (1-x^{2})'=-2x obtemos
y'=\frac{2}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(1-x^{2})^{-3/2}\cdot(-2x).
Agora simplificamos as constantes: \dfrac{2}{3}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{1}{3} e -\tfrac{1}{3}\cdot(-2x)=\tfrac{2x}{3}. Assim
y'=\frac{2x}{3}(1-x^{2})^{-3/2}.

Passo 5

Escrever a resposta em forma de fração com a potência positiva no denominador deixa mais claro o domínio:
y'=\frac{2x}{3(1-x^{2})^{3/2}},\qquad |x|<1.
Dica rápida para a prova: reescrever raízes como potências e aplicar a regra da cadeia costuma ser o caminho mais rápido para essas derivadas. Vai dar certo — respira, confia e partiu resolver!

Resposta

y'=\frac{2x}{3(1-x^{2})^{3/2}}

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