Determine a derivada das funções abaixo:
y=e^{5 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. As informações que temos são:
  • A função é y = e^{5x+1}.
  • A tarefa é encontrar y' (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

O que significa “derivar” aqui (rapidinho, para fixar): derivar a função y(x) significa encontrar a taxa de variação instantânea de y em relação a x. Em notação, a derivada é escrita como y' = \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicada devagar): se a função tem a forma y = e^{u(x)}, onde u(x) é uma função qualquer de x, então a derivada de y é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para uma composição f(g(x)),
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aplicando isso a f(t)=e^{t} (cuja derivada é f'(t)=e^{t}) e a g(x)=u(x), obtemos a fórmula prática:
\frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Em palavras: derivar e^{u(x)} é deixar e^{u(x)} como está e multiplicar pela derivada do expoente u(x).

Passo 4

Identificar o expoente e derivá-lo: na nossa função o expoente é
u(x)=5x+1.
Agora calculamos a derivada de u(x). Regras básicas usadas aqui:
  • A derivada de ax em relação a x é a.
  • A derivada de uma constante é 0.
    Assim,
u'(x)=\frac{d}{dx}(5x+1)=5+0=5.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia: usando \dfrac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x) e substituindo u(x)=5x+1 e u'(x)=5, obtemos
y' = e^{5x+1}\cdot 5 = 5e^{5x+1}.
Observação rápida: outra forma equivalente é y' = 5e\cdot e^{5x}, porque e^{5x+1}=e^{5x}e^{1}=e\cdot e^{5x}, mas a forma mais direta e compacta é 5e^{5x+1}.

Passo 6

Cheque simples para ganhar confiança: para x=0,
y(0)=e^{1}=e,\qquad y'(0)=5e^{1}=5e.
Isso faz sentido: a derivada no ponto 0 é 5 vezes o valor da função no ponto 0.

Resposta

y' = 5e^{5x+1}

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