Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. As informações que temos são:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
O que significa “derivar” aqui (rapidinho, para fixar): derivar a função
significa encontrar a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Em notação, a derivada é escrita como
.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicada devagar): se a função tem a forma
, onde
é uma função qualquer de
, então a derivada de
é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para uma composição
,
Aplicando isso a
(cuja derivada é
) e a
, obtemos a fórmula prática:
Em palavras: derivar
é deixar
como está e multiplicar pela derivada do expoente
.
Passo 4
Identificar o expoente e derivá-lo: na nossa função o expoente é
Agora calculamos a derivada de
. Regras básicas usadas aqui:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de uma constante é
.
Assim,
Passo 5
Aplicar a fórmula da regra da cadeia: usando
e substituindo
e
, obtemos
Observação rápida: outra forma equivalente é
, porque
, mas a forma mais direta e compacta é
.
Passo 6
Cheque simples para ganhar confiança: para
,
Isso faz sentido: a derivada no ponto
é
vezes o valor da função no ponto
.