Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função dada. A função fornecida é:
Informações relevantes:
- A função é um produto de duas expressões:
e . - Não há outros dados; a tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Escolha do método (o que vamos usar) e fórmulas necessárias — explicadas passo a passo.
- Regra do produto:
Explicação: para derivar um produto, derivamos a primeira função mantendo a segunda, somamos à primeira mantida vezes a derivada da segunda. Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
- Regra da cadeia:
Explicação: quando uma função está composta (algo elevado a uma potência, por exemplo), derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
Vou aplicar a regra do produto com
e
, e para derivar
aplico a regra da cadeia.
Passo 3
Definir as partes do produto e calcular
.
- Tome
.
A derivada deé a derivada de uma constante multiplicando . A derivada de é , então (Explicação rápida: para constante .)
Passo 4
Calcular
aplicando a regra da cadeia.
-
Tome
.
Vejacomo com e . Primeiro calcule: .
Depois calcule: . Aplicando a regra da cadeia:Substituindo:
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter
.
Usando
,
,
e
, temos:
Passo 6
Simplificar a expressão da derivada factorizando termos comuns.
Na expressão
observe que ambos os termos têm o fator comum
. Fatore esse termo:
Agora some os termos dentro do colchete:
Portanto a forma simplificada é