Determine a derivada das funções abaixo:
y=7 x .\left(x^{3}-3\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função dada. A função fornecida é:
y=7x\cdot\left(x^{3}-3\right)^{5}.
Informações relevantes:
  • A função é um produto de duas expressões: 7x e \left(x^{3}-3\right)^{5}.
  • Não há outros dados; a tarefa é encontrar y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Escolha do método (o que vamos usar) e fórmulas necessárias — explicadas passo a passo.
  1. Regra do produto:
\text{Se }y=u(x)\cdot v(x),\text{ então }y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Explicação: para derivar um produto, derivamos a primeira função mantendo a segunda, somamos à primeira mantida vezes a derivada da segunda. Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x.
  1. Regra da cadeia:
\text{Se }v(x)=h(g(x))\text{ com }h \text{ e } g \text{ diferenciáveis, então } v'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).áã
Explicação: quando uma função está composta (algo elevado a uma potência, por exemplo), derivamos a função externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
Vou aplicar a regra do produto com u(x)=7x e v(x)=\left(x^{3}-3\right)^{5}, e para derivar v aplico a regra da cadeia.

Passo 3

Definir as partes do produto e calcular u'(x).
  • Tome u(x)=7x.
    A derivada de u é a derivada de uma constante multiplicando x. A derivada de x é 1, então u'(x)=7.(Explicação rápida: d/dx\,(a x)=a para constante a.)

Passo 4

Calcular v'(x) aplicando a regra da cadeia.
  • Tome v(x)=\left(x^{3}-3\right)^{5}.
    Veja v como h(g(x)) com h(t)=t^{5} e g(x)=x^{3}-3.
    Primeiro calcule h'(t): h'(t)=5t^{4}.
    Depois calcule g'(x): g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(x^{3}-3\right)=3x^{2}.
    Aplicando a regra da cadeia:
    v'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=5\big(g(x)\big)^{4}\cdot 3x^{2}.
    Substituindo g(x)=x^{3}-3:
    v'(x)=5\left(x^{3}-3\right)^{4}\cdot 3x^{2}=15x^{2}\left(x^{3}-3\right)^{4}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter y'.
Usando u'(x)=7, u(x)=7x, v(x)=\left(x^{3}-3\right)^{5} e v'(x)=15x^{2}\left(x^{3}-3\right)^{4}, temos:
y'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=7\left(x^{3}-3\right)^{5}+7x\cdot 15x^{2}\left(x^{3}-3\right)^{4}.

Passo 6

Simplificar a expressão da derivada factorizando termos comuns.
Na expressão
y'=7\left(x^{3}-3\right)^{5}+7x\cdot 15x^{2}\left(x^{3}-3\right)^{4},
observe que ambos os termos têm o fator comum 7\left(x^{3}-3\right)^{4}. Fatore esse termo:
y'=7\left(x^{3}-3\right)^{4}\left[\left(x^{3}-3\right)+15x^{3}\right].
Agora some os termos dentro do colchete:
\left(x^{3}-3\right)+15x^{3}=16x^{3}-3.
Portanto a forma simplificada é
y'=7\left(x^{3}-3\right)^{4}\left(16x^{3}-3\right).

Resposta

y'=7\left(x^{3}-3\right)^{4}\left(16x^{3}-3\right)

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