Obtenha a derivada segunda das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se a derivada segunda da função
. - A função é
. - Informação importante sobre domínio: para que o logaritmo natural esteja definido é preciso
. Portanto o domínio é ou .
Passo 2
Lembrete didático: como derivar um logaritmo composto
- Regra básica (cadeia): se
, então
Aqui
é uma função interna;
é a derivada dessa função interna. Exemplo simples: se
(ou seja,
), então
.
Vou usar exatamente essa ideia para obter
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
aplicando a regra da cadeia.
- Identificar
. - Calcular
. - Aplicar a regra do logaritmo:
Observação: essa fórmula só vale no domínio
ou
, onde
.
Passo 4
Escolha do método para a segunda derivada
Para derivar
é natural usar a regra do quociente (ou escrever como produto
e usar produto+cadeia). Vou usar a regra do quociente porque é direta e facilita a organização das contas numa prova.
Regra do quociente: se
então
Aqui
é o numerador e
o denominador;
e
são as derivadas.
Passo 5
Aplicar a regra do quociente a
.
- Tomar
e . - Derivadas:
e . - Pelo quociente:
Passo 6
Simplificar o numerador passo a passo.
- Expandir:
. - Calcular o segundo termo:
. - Subtrair:
. - Colocar fator comum:
.
Assim a expressão de
fica
Passo 7
Comentário didático rápido (verificação alternativa)
Se alguém preferir produto+cadeia: escrevendo
e aplicando produto e cadeia obtém-se
que, reduzindo ao mesmo denominador, também leva a