Obtenha a derivada segunda das funções:
f(x)=\ln \left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se a derivada segunda da função f.
  • A função é f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}-1\bigr).
  • Informação importante sobre domínio: para que o logaritmo natural esteja definido é preciso x^{2}-1>0. Portanto o domínio é x<-1 ou x>1.

Passo 2

Lembrete didático: como derivar um logaritmo composto
  • Regra básica (cadeia): se g(x)=\ln\!\bigl(u(x)\bigr), então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é uma função interna; u'(x) é a derivada dessa função interna. Exemplo simples: se g(x)=\ln(x) (ou seja, u(x)=x), então g'(x)=1/x.
Vou usar exatamente essa ideia para obter f'(x).

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x) aplicando a regra da cadeia.
  • Identificar u(x)=x^{2}-1.
  • Calcular u'(x)=2x.
  • Aplicar a regra do logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}-1}.
Observação: essa fórmula só vale no domínio x<-1 ou x>1, onde x^{2}-1\neq0.

Passo 4

Escolha do método para a segunda derivada
Para derivar f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-1} é natural usar a regra do quociente (ou escrever como produto 2x\,(x^{2}-1)^{-1} e usar produto+cadeia). Vou usar a regra do quociente porque é direta e facilita a organização das contas numa prova.
Regra do quociente: se h(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
h'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Aqui p(x) é o numerador e q(x) o denominador; p'(x) e q'(x) são as derivadas.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente a f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-1}.
  • Tomar p(x)=2x e q(x)=x^{2}-1.
  • Derivadas: p'(x)=2 e q'(x)=2x.
  • Pelo quociente:
f''(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}} =\frac{2\,(x^{2}-1)-(2x)\,(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 6

Simplificar o numerador passo a passo.
  • Expandir: 2\,(x^{2}-1)=2x^{2}-2.
  • Calcular o segundo termo: (2x)(2x)=4x^{2}.
  • Subtrair: 2x^{2}-2-4x^{2} = -2x^{2}-2.
  • Colocar fator comum: -2x^{2}-2 = -2\,(x^{2}+1).
Assim a expressão de f''(x) fica
f''(x)=\frac{-2\,(x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 7

Comentário didático rápido (verificação alternativa)
Se alguém preferir produto+cadeia: escrevendo f'(x)=2x\,(x^{2}-1)^{-1} e aplicando produto e cadeia obtém-se
f''(x)=2\,(x^{2}-1)^{-1} + 2x\cdot(-1)(x^{2}-1)^{-2}\cdot 2x = \frac{2}{x^{2}-1}-\frac{4x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}},
que, reduzindo ao mesmo denominador, também leva a
f''(x)=\frac{-2\,(x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{2}}.

Resposta

f''(x)=-\frac{2\,(x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{2}}

Exercícios relacionados