Obtenha a derivada segunda das funções:
f(x)=\cos (3 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos(3x) e pede a derivada segunda, isto é, f''(x). Vou listar o que temos:
  • Função dada: f(x)=\cos(3x).
  • Pedido: calcular f''(x), a segunda derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação bem direta e prática):
  • Derivada da função cosseno: se g(x)=\cos(x) então g'(x)=-\sin(x).
  • Derivada da função seno: se h(x)=\sin(x) então h'(x)=\cos(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e p(x) uma função, \dfrac{d}{dx}\big[c\cdot p(x)\big]=c\cdot p'(x).
  • Regra da cadeia (essencial aqui): se F(x)=G(u(x)), então F'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x). Em palavras: derivar a função externa em u e multiplicar pela derivada da função interna u(x).
Vou aplicar essas regras passo a passo. Para deixar claro, aqui a função externa é \cos(\cdot) e a interna é u(x)=3x.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x).
Aplicando a regra da cadeia com G(t)=\cos(t) e u(x)=3x:
  • G'(t)=-\sin(t).
  • u'(x)=\dfrac{d}{dx}(3x)=3.
Portanto,
f'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x) = -\sin(3x)\cdot 3.
Usando a regra do fator constante, podemos escrever
f'(x)=-3\sin(3x).

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada f''(x)=\dfrac{d}{dx}\big(f'(x)\big).
Temos f'(x)=-3\sin(3x). Trata-se de uma constante -3 multiplicando \sin(3x), então uso a regra do fator constante novamente e a regra da cadeia para \sin(3x).
Derivando \sin(3x):
  • derivada de \sin(t) em t é \cos(t);
  • derivada da parte interna 3x é 3.
Logo,
\frac{d}{dx}\big(\sin(3x)\big)=\cos(3x)\cdot 3.
Multiplicando pelo fator -3:
f''(x) = -3\cdot\big(\cos(3x)\cdot 3\big).

Passo 5

Simplifico o produto de constantes:
f''(x) = -3\cdot 3\cdot \cos(3x) = -9\cos(3x).
Também vale a observação rápida de memorização para a prova: a segunda derivada de \cos(kx) é -k^2\cos(kx). Aqui k=3, então -k^2=-9, o que confirma o resultado.

Resposta

-9\cos(3x)

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