Obtenha a derivada segunda das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada segunda, isto é,
. Vou listar o que temos:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
, a segunda derivada de em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicação bem direta e prática):
- Derivada da função cosseno: se
então . - Derivada da função seno: se
então . - Regra do fator constante: se
é constante e uma função, . - Regra da cadeia (essencial aqui): se
, então . Em palavras: derivar a função externa em e multiplicar pela derivada da função interna .
Vou aplicar essas regras passo a passo. Para deixar claro, aqui a função externa é
e a interna é
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
Aplicando a regra da cadeia com
e
:
-
. -
.
Portanto,
Usando a regra do fator constante, podemos escrever
Passo 4
Agora calculo a segunda derivada
.
Temos
. Trata-se de uma constante
multiplicando
, então uso a regra do fator constante novamente e a regra da cadeia para
.
Derivando
:
- derivada de
em é ; - derivada da parte interna
é .
Logo,
Multiplicando pelo fator
:
Passo 5
Simplifico o produto de constantes:
Também vale a observação rápida de memorização para a prova: a segunda derivada de
é
. Aqui
, então
, o que confirma o resultado.