Determine a derivada das funções:
c) f(x)=x^{-3}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: f(x)=x^{-3}.
  • Pedido: calcular a derivada f'(x), isto é, a taxa de variação instantânea de f em relação a x.

Passo 2

Rápida lembrança do que é derivada (a ideia por trás).
  • A derivada de uma função f em um ponto mede o limite da razão de variação:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Na prática de prova usamos regras que evitam ter que calcular esse limite toda vez (essas regras vêm de demonstrações usando justamente esse limite). Duas regras úteis aqui são a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 3

Apresento a regra do quociente (que vou usar) e explico suas letras.
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}}.
  • Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente a f(x)=x^{-3} reescrevendo-a como f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}.
  • Identifico u(x)=1 e v(x)=x^{3}.
  • Derivadas: u'(x)=0 (derivada de constante) e v'(x)=3x^{2} (aqui usei a regra da potência para x^{3}, que diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}; isso é uma regra básica).
  • Substituindo na fórmula do quociente:
f'(x)=\frac{0\cdot x^{3}-1\cdot 3x^{2}}{(x^{3})^{2}}=\frac{-3x^{2}}{x^{6}}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida usando propriedades de potências e explicar o que significa expoente negativo.
  • Dividindo potências com mesma base: x^{2}/x^{6}=x^{2-6}=x^{-4}.
  • Logo
f'(x)=-3x^{-4}.
  • Lembrando que expoente negativo significa reciprocidade: x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}. Assim também podemos escrever
f'(x)=-\dfrac{3}{x^{4}}.

Passo 6

Observação alternativa curta (quando for rápido na prova).
  • Poderia usar direto a regra da potência para expoente qualquer: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=-3 f'(x)=-3x^{-4}, mesmo resultado.

Resposta

-3x^{-4}

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