Determine a derivada das funções:
c)
c)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
. - Pedido: calcular a derivada
, isto é, a taxa de variação instantânea de em relação a .
Passo 2
Rápida lembrança do que é derivada (a ideia por trás).
- A derivada de uma função
em um ponto mede o limite da razão de variação:
- Na prática de prova usamos regras que evitam ter que calcular esse limite toda vez (essas regras vêm de demonstrações usando justamente esse limite). Duas regras úteis aqui são a regra do quociente e a regra da potência.
Passo 3
Apresento a regra do quociente (que vou usar) e explico suas letras.
- Regra do quociente: se
com , então
- Aqui
e são funções quaisquer; e são as derivadas delas.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente a
reescrevendo-a como
.
- Identifico
e . - Derivadas:
(derivada de constante) e (aqui usei a regra da potência para , que diz que a derivada de é ; isso é uma regra básica). - Substituindo na fórmula do quociente:
Passo 5
Simplificar a expressão obtida usando propriedades de potências e explicar o que significa expoente negativo.
- Dividindo potências com mesma base:
. - Logo
- Lembrando que expoente negativo significa reciprocidade:
. Assim também podemos escrever
Passo 6
Observação alternativa curta (quando for rápido na prova).
- Poderia usar direto a regra da potência para expoente qualquer: se
então . Aqui dá , mesmo resultado.