Determine a derivada das funções:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
- A função está escrita como raiz cúbica de
. - Queremos calcular
, a derivada em relação a .
Não vou assumir nada além disso — vamos transformar a expressão e aplicar regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a função usando potência fracionária (isso facilita muito a diferenciação):
Explicação curta e importante sobre essa igualdade: a propriedade de potências diz que
. Como a raiz cúbica é a potência
, a transformação acima é válida. Para números reais, a raiz cúbica está definida para todo
, então não há problema ao escrever
.
Passo 3
Agora vou lembrar duas regras de diferenciacão que vou usar — explicadas de forma simples:
- Regra da potência: se
com constante real, então
Aqui
é o expoente e
é a variável; a regra diz que puxamos o expoente para frente e subtraímos
do expoente.
- Regra da cadeia (caso a função seja composta): se
e , então
Ou seja, derivamos a função externa em relação a
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Vou aplicar a regra da potência diretamente, pois já temos a forma
. Também mais abaixo mostro a aplicação pela cadeia para confirmar.
Passo 4
Aplicando a regra da potência à função
:
Calculemos o expoente novo:
Portanto
Passo 5
Para reforçar a ideia, vamos fazer pela regra da cadeia (mesma resposta, só para ver claramente as etapas):
- Tome
e . - Então
. - E
.
Multiplicando (regra da cadeia):
Como
, temos
mesma expressão que antes.
Passo 6
Observações sobre domínio e sinais (para você aplicar na prova sem medo):
- A expressão
pode ser vista como ou como ; ambas fazem sentido para todo . Isso mostra que a derivada é bem definida para , e . - Em particular, no ponto
a derivada é
logo a derivada existe em
e vale
, que coincide com a fórmula
quando
.
- Exemplo numérico rápido: para
,
Passo 7
Formas equivalentes úteis para escrever a resposta (escolha a que preferir na prova):