Determine a derivada das funções:
e) y=\sqrt[3]{x^{5}}\'

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\sqrt[3]{x^{5}}.
Informações dadas:
  • A função está escrita como raiz cúbica de x^{5}.
  • Queremos calcular y'=\dfrac{dy}{dx}, a derivada em relação a x.
    Não vou assumir nada além disso — vamos transformar a expressão e aplicar regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função usando potência fracionária (isso facilita muito a diferenciação):
y=\sqrt[3]{x^{5}}=(x^{5})^{1/3}=x^{5\cdot(1/3)}=x^{5/3}.
Explicação curta e importante sobre essa igualdade: a propriedade de potências diz que (a^{b})^{c}=a^{b c}. Como a raiz cúbica é a potência 1/3, a transformação acima é válida. Para números reais, a raiz cúbica está definida para todo x, então não há problema ao escrever x^{5/3}.

Passo 3

Agora vou lembrar duas regras de diferenciacão que vou usar — explicadas de forma simples:
  • Regra da potência: se y=x^{n} com n constante real, então
\dfrac{dy}{dx}=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável; a regra diz que puxamos o expoente para frente e subtraímos 1 do expoente.
  • Regra da cadeia (caso a função seja composta): se y=f(u) e u=u(x), então
\dfrac{dy}{dx}=f'(u(x))\cdot u'(x).
Ou seja, derivamos a função externa em relação a u e multiplicamos pela derivada de u em relação a x. Vou aplicar a regra da potência diretamente, pois já temos a forma x^{5/3}. Também mais abaixo mostro a aplicação pela cadeia para confirmar.

Passo 4

Aplicando a regra da potência à função y=x^{5/3}:
\dfrac{dy}{dx}=\frac{5}{3}\,x^{\frac{5}{3}-1}.
Calculemos o expoente novo:
\frac{5}{3}-1=\frac{5}{3}-\frac{3}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto
\dfrac{dy}{dx}=\frac{5}{3}\,x^{2/3}.

Passo 5

Para reforçar a ideia, vamos fazer pela regra da cadeia (mesma resposta, só para ver claramente as etapas):
  • Tome u=x^{5} e y=u^{1/3}.
  • Então du/dx=5x^{4}.
  • E dy/du=\dfrac{1}{3}u^{-2/3}.
    Multiplicando (regra da cadeia):
\dfrac{dy}{dx}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot 5x^{4}=\frac{5}{3}x^{4}\cdot (x^{5})^{-2/3}.
Como (x^{5})^{-2/3}=x^{5\cdot(-2/3)}=x^{-10/3}, temos
\dfrac{dy}{dx}=\frac{5}{3}x^{4-10/3}=\frac{5}{3}x^{12/3-10/3}=\frac{5}{3}x^{2/3},
mesma expressão que antes.

Passo 6

Observações sobre domínio e sinais (para você aplicar na prova sem medo):
  • A expressão x^{2/3} pode ser vista como (\sqrt[3]{x})^{2} ou como \sqrt[3]{x^{2}}; ambas fazem sentido para todo x\in\mathbb{R}. Isso mostra que a derivada é bem definida para x>0, x<0 e x=0.
  • Em particular, no ponto x=0 a derivada é
\lim_{h\to 0}\frac{(0+h)^{5/3}-0}{h}=\lim_{h\to 0}h^{2/3}=0,
logo a derivada existe em 0 e vale 0, que coincide com a fórmula \dfrac{5}{3}x^{2/3} quando x=0.
  • Exemplo numérico rápido: para x=-8,
y'=\frac{5}{3}(-8)^{2/3}=\frac{5}{3}\bigl(\sqrt[3]{-8}\bigr)^{2}=\frac{5}{3}(-2)^{2}=\frac{20}{3}.

Passo 7

Formas equivalentes úteis para escrever a resposta (escolha a que preferir na prova):
y'=\frac{5}{3}x^{2/3}=\frac{5}{3}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{2}=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^{2}}.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{5}{3}x^{2/3}

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