Em um escoamento potencial, o potencial complexo é w(z)=\varphi+i \psi. Para w(z)=z^{2}, determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.

Passo 1

O enunciado dá a função potencial complexo w(z)=\varphi+i\psi com w(z)=z^{2} e pede duas coisas claras:
  • Determinar as linhas equipotenciais (curvas de \varphi= constante).
  • Determinar as linhas de corrente (curvas de \psi= constante).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • z é a variável complexa e pode ser escrita como z=x+iy.
  • w(z)=\varphi(x,y)+i\,\psi(x,y), onde \varphi é a função potencial e \psi é a função corrente.

Passo 2

Primeiro vamos escrever w(z) em termos de x e y. Substituindo z=x+iy em w(z)=z^{2} temos:
w=(x+iy)^{2}.
Desenvolvendo o quadrado:
(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy+(iy)^{2}=x^{2}+2i xy - y^{2}.
Agrupando partes real e imaginária obtemos:
w=(x^{2}-y^{2})+i(2xy).
Portanto identificamos diretamente \varphi e \psi:
\varphi(x,y)=x^{2}-y^{2},\qquad \psi(x,y)=2xy.

Passo 3

Agora as linhas equipotenciais são as curvas em que \varphi é constante. Escrevendo isso:
\varphi(x,y)=x^{2}-y^{2}=C,
onde C é uma constante real que identifica cada curva.
Interpretação geométrica e exemplos rápidos:
  • A equação \;x^{2}-y^{2}=C\; é a família de hipérboles com assíntotas y=\pm x.
  • Se C=0 obtemos x^{2}-y^{2}=0\Rightarrow x=\pm y (duas retas).
  • Para C>0 as hipérboles têm ramos abertos ao longo do eixo x (passam pelos quadrantes I e IV ou II e III dependendo do sinal de x).
  • Para C<0 os ramos se abrem ao longo do eixo y.
Dica prática para prova: quando você expandir z em x+iy e encontrar \varphi, basta igualar \varphi=C para escrever as equipotenciais; frequentemente saem hipérboles, retas ou círculos dependendo da forma.

Passo 4

As linhas de corrente são as curvas em que \psi é constante. Escrevendo:
\psi(x,y)=2xy=C,
ou equivalentemente
xy=\frac{C}{2}.
Interpretação geométrica e exemplos rápidos:
  • A equação \;xy=\text{const}\; também representa hipérboles (às vezes chamadas de hipérboles retangulares).
  • Se C=0 então xy=0\Rightarrow x=0 ou y=0, ou seja, os eixos cartesianos.
  • Para C>0 as hipérboles têm ramos nos quadrantes I e III; para C<0 nos quadrantes II e IV.
  • Essas curvas são ortogonais às equipotenciais (ver passo seguinte).
Na prova, ao ver \psi igual a um produto xy já fica óbvio que são hipérboles com orientação diferente das equipotenciais.

Passo 5

Vou mostrar por que as equipotenciais e as linhas de corrente são ortogonais (útil para entender o físico do escoamento).
Calcule as derivadas parciais de \varphi e \psi:
\phi_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x,\qquad \phi_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y,
\psi_x=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,\qquad \psi_y=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
Os vetores normais às curvas de nível são \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y) e \nabla\psi=(\psi_x,\psi_y). O produto escalar entre eles é
\nabla\varphi\cdot\nabla\psi=(2x)(2y)+(-2y)(2x)=4xy-4xy=0.
Como o produto escalar é zero, os vetores normais são perpendiculares, logo as curvas de nível (equipotenciais e correntes) são ortogonais em todos os pontos onde as derivadas não são ambas zero.
Observação sobre o ponto crítico: em x=y=0 ambos gradientes são nulos (origem), é um ponto de estagnação do escoamento — lá não se define direção preferencial.

Passo 6

Conexão com a velocidade do escoamento (útil para interpretar as linhas de corrente): a derivada complexa é
\frac{dw}{dz}=2z.
Em teoria de escoamento potencial, a velocidade complexa q é q=u-iv=\dfrac{dw}{dz}, onde u e v são as componentes de velocidade nas direções x e y. Assim:
u-iv=2(x+iy)=2x+i2y.
Comparando partes reais e imaginárias obtemos
u=2x,\qquad v=-2y.
A inclinação das linhas de corrente satisfaz \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v}{u}=\dfrac{-2y}{2x}=-\dfrac{y}{x}. Integrando essa EDO:
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\quad\Rightarrow\quad \ln|y|=-\ln|x|+\text{const},
o que leva a xy=\text{const}, que é exatamente \psi= constante — confirmação consistente.

Passo 7

Resumo e formas explícitas para usar direto na prova:
  • Equipotenciais: curvas dadas por
x^{2}-y^{2}=C\qquad (C\in\mathbb{R}).
  • Linhas de corrente: curvas dadas por
2xy=C\qquad (C\in\mathbb{R}),
ou equivalentemente xy=C/2.

Resposta

Equipotenciais: x^{2}-y^{2}=C
Linhas de corrente: 2xy=C

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