Em um escoamento potencial, o potencial complexo é
. Para
, determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.
Passo 1
O enunciado dá a função potencial complexo
com
e pede duas coisas claras:
- Determinar as linhas equipotenciais (curvas de
constante). - Determinar as linhas de corrente (curvas de
constante).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
-
é a variável complexa e pode ser escrita como . -
, onde é a função potencial e é a função corrente.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em termos de
e
. Substituindo
em
temos:
Desenvolvendo o quadrado:
Agrupando partes real e imaginária obtemos:
Portanto identificamos diretamente
e
:
Passo 3
Agora as linhas equipotenciais são as curvas em que
é constante. Escrevendo isso:
onde
é uma constante real que identifica cada curva.
Interpretação geométrica e exemplos rápidos:
- A equação
é a família de hipérboles com assíntotas . - Se
obtemos (duas retas). - Para
as hipérboles têm ramos abertos ao longo do eixo (passam pelos quadrantes I e IV ou II e III dependendo do sinal de ). - Para
os ramos se abrem ao longo do eixo .
Dica prática para prova: quando você expandir
em
e encontrar
, basta igualar
para escrever as equipotenciais; frequentemente saem hipérboles, retas ou círculos dependendo da forma.
Passo 4
As linhas de corrente são as curvas em que
é constante. Escrevendo:
ou equivalentemente
Interpretação geométrica e exemplos rápidos:
- A equação
também representa hipérboles (às vezes chamadas de hipérboles retangulares). - Se
então ou , ou seja, os eixos cartesianos. - Para
as hipérboles têm ramos nos quadrantes I e III; para nos quadrantes II e IV. - Essas curvas são ortogonais às equipotenciais (ver passo seguinte).
Na prova, ao ver
igual a um produto
já fica óbvio que são hipérboles com orientação diferente das equipotenciais.
Passo 5
Vou mostrar por que as equipotenciais e as linhas de corrente são ortogonais (útil para entender o físico do escoamento).
Calcule as derivadas parciais de
e
:
Os vetores normais às curvas de nível são
e
. O produto escalar entre eles é
Como o produto escalar é zero, os vetores normais são perpendiculares, logo as curvas de nível (equipotenciais e correntes) são ortogonais em todos os pontos onde as derivadas não são ambas zero.
Observação sobre o ponto crítico: em
ambos gradientes são nulos (origem), é um ponto de estagnação do escoamento — lá não se define direção preferencial.
Passo 6
Conexão com a velocidade do escoamento (útil para interpretar as linhas de corrente): a derivada complexa é
Em teoria de escoamento potencial, a velocidade complexa
é
, onde
e
são as componentes de velocidade nas direções
e
. Assim:
Comparando partes reais e imaginárias obtemos
A inclinação das linhas de corrente satisfaz
. Integrando essa EDO:
o que leva a
, que é exatamente
constante — confirmação consistente.
Passo 7
Resumo e formas explícitas para usar direto na prova:
- Equipotenciais: curvas dadas por
- Linhas de corrente: curvas dadas por
ou equivalentemente
.
Resposta
Equipotenciais:
Linhas de corrente:
Linhas de corrente: