Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=x^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{x}.
O conteúdo necessário é a diferenciação de uma função na forma x^{x}. Para resolver, vamos usar a técnica de diferenciação logarítmica.

Passo 2

Definimos
y = x^{x}
e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados, obtendo
\ln(y) = \ln\bigl(x^{x}\bigr).
Pela propriedade de potências, isso vira
\ln(y) = x\,\ln(x).

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. À esquerda, \frac{d}{dx}\bigl[\ln(y)\bigr] = \frac{y'}{y}.
À direita, usamos a regra do produto em x\,\ln(x):
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\ln(x)\bigr] = 1\cdot \ln(x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(x) + 1.
Logo
\frac{y'}{y} = \ln(x) + 1.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y':
y' = y\,\bigl(\ln(x) + 1\bigr).
Como y = x^{x}, temos
y' = x^{x}\,\bigl(\ln(x) + 1\bigr).

Resposta

f'(x) = x^{x}\,\bigl(\ln(x) + 1\bigr).

Exercícios relacionados