Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=2^{(\ln (\cos x))}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2^{(\ln(\cos x))}.
O conteúdo que vamos usar inclui a regra da cadeia, a derivação da função exponencial geral a^u e a derivação do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a base 2 como exponencial neperiano. Sabemos que
2^{(\ln(\cos x))} = e^{\ln(2)\,\ln(\cos x)}.
Aqui usamos a identidade a^u = e^{u\,\ln(a)}.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de e^{h(x)}, que é e^{h(x)}\cdot h'(x). No nosso caso
h(x) = \ln(2)\,\ln(\cos x),
então
h'(x) = \ln(2)\;\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\cos x)\bigr] =\ln(2)\;\frac{-\sin x}{\cos x} =-\ln(2)\,\tan x.
Logo,
f'(x) = e^{\ln(2)\,\ln(\cos x)}\;\bigl(-\ln(2)\,\tan x\bigr).

Passo 4

Por fim, voltamos à forma original 2^{\ln(\cos x)} no lugar de e^{\ln(2)\,\ln(\cos x)}. Isso nos dá
f'(x) =-2^{\ln(\cos x)}\,\ln(2)\,\tan x.

Resposta

f'(x) = -2^{\ln(\cos x)}\,\ln(2)\,\tan(x).

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