Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente (regra do quociente). Vamos reescrever f como potência para aplicar essas regras.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\tfrac12},
definimos
g(x)=\frac{1-x}{1+x}, \quad h(u)=u^{\tfrac12},
de modo que f(x)=h\bigl(g(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Como h(u)=u^{1/2}, temos
h'(u)=\frac12\,u^{-1/2}.

Passo 3

Agora calculamos g'(x) pela regra do quociente:
g(x)=\frac{1-x}{1+x} \quad\Longrightarrow\quad g'(x) =\frac{(1+x)\cdot(-1)-(1-x)\cdot1}{(1+x)^2} =\frac{-1 - x - 1 + x}{(1+x)^2} =\frac{-2}{(1+x)^2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x):
f'(x) =\frac12\bigl(g(x)\bigr)^{-1/2}\cdot\biggl(-\frac{2}{(1+x)^2}\biggr) =-\frac{2}{2\,(1+x)^2}\,\biggl(\frac{1-x}{1+x}\biggr)^{-\tfrac12} =-\frac{1}{(1+x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}.

Passo 5

Para simplificar ainda mais, note que
\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} =\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}
portanto
(1+x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} =(1+x)^2\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} =(1+x)^{3/2}\,\sqrt{1-x}.
Logo a forma final é
f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{3/2}\,\sqrt{1-x}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{3/2}\,\sqrt{1-x}}.

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