Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x-1}{x+1}\biggr).
Aqui vamos usar que, para u(x)>0,
\bigl[\ln(u(x))\bigr]'=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 2

Defina
u(x)=\frac{x-1}{x+1}.
Para achar u'(x) usamos a regra do quociente: se u=\frac{v}{w} então
u'=\frac{v'\,w - v\,w'}{w^2}.
Aqui v(x)=x-1 e w(x)=x+1, logo v'=1 e w'=1. Portanto,
u'(x) =\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2} =\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} =\frac{2}{(x+1)^2}.

Passo 3

Agora aplique a derivada do logaritmo:
f'(x) =\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{\displaystyle \frac{2}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}} =\frac{2}{(x+1)^2}\cdot\frac{x+1}{x-1} =\frac{2}{(x+1)(x-1)}.
Note que (x+1)(x-1)=x^2-1.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{x^2-1},\quad x\neq\pm1.

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