Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=e^{x^{2}} \cdot \ln \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x^{2}}\cdot \ln\bigl(x^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para cada fator.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) =\bigl(e^{x^{2}}\bigr)'\,\ln\bigl(x^{2}\bigr) +e^{x^{2}}\,\bigl(\ln(x^{2})\bigr)'.

Passo 3

Calculamos cada derivada:
  1. Derivada de e^{x^{2}} pela cadeia:
\bigl(e^{x^{2}}\bigr)'=e^{x^{2}}\cdot (x^{2})'=e^{x^{2}}\cdot 2x.
  1. Derivada de \ln(x^{2}) pela cadeia:
\bigl(\ln(x^{2})\bigr)' =\frac{1}{x^{2}}\cdot (x^{2})' =\frac{1}{x^{2}}\cdot 2x =\frac{2}{x}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =(2x\,e^{x^{2}})\,\ln(x^{2}) +e^{x^{2}}\cdot\frac{2}{x} =2x\,e^{x^{2}}\,\ln(x^{2})+\frac{2\,e^{x^{2}}}{x}.
Fatorando e^{x^{2}}:
f'(x) =e^{x^{2}}\Bigl(2x\,\ln(x^{2})+\tfrac{2}{x}\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x^{2}}\Bigl(2x\,\ln(x^{2})+\tfrac{2}{x}\Bigr).

Exercícios relacionados