Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\log \left(x^{5}+x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\log\bigl(x^{5}+x^{4}\bigr).
O conteúdo a usar é a regra da derivada do logaritmo natural e a regra da cadeia.

Passo 2

Sabemos que, para uma função u(x) positiva,
\frac{d}{dx}\bigl[\log(u(x))\bigr]=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Aqui temos u(x)=x^{5}+x^{4}. Derivando essa soma de potências:
u'(x)=5x^{4}+4x^{3}.

Passo 4

Aplicando a regra do logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{5x^{4}+4x^{3}}{x^{5}+x^{4}}.

Passo 5

Para simplificar, fatoramos numerador e denominador:
5x^{4}+4x^{3}=x^{3}(5x+4), \quad x^{5}+x^{4}=x^{4}(x+1),
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f'(x)=\frac{x^{3}(5x+4)}{x^{4}(x+1)} =\frac{5x+4}{x(x+1)}.

Resposta

A derivada é
f'(x)=\frac{5x+4}{x(x+1)}.

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