Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=2^{x} \cdot 3^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=2^{x}\cdot3^{x}.
Para isso, vamos usar a regra do produto e a fórmula da derivada de uma exponencial do tipo a^{x}.

Passo 2

Lembramos que, para base a>0, vale
\bigl(a^{x}\bigr)'=a^{x}\ln(a).

Passo 3

Definimos
u(x)=2^{x}, \quad v(x)=3^{x},
de modo que
f(x)=u(x)\,v(x).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=2^{x}\ln(2), \quad v'(x)=3^{x}\ln(3).
Substituindo em f'(x), vem
f'(x)=2^{x}\ln(2)\cdot3^{x}+2^{x}\cdot3^{x}\ln(3).

Passo 5

Observamos que 2^{x}3^{x}=(2\cdot3)^{x}=6^{x} e que \ln(2)+\ln(3)=\ln(6). Logo,
f'(x)=6^{x}\bigl(\ln(2)+\ln(3)\bigr)=6^{x}\ln(6).

Resposta

\displaystyle f'(x)=6^{x}\ln(6)

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