Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\ln x \cdot \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \ln x \cdot \operatorname{sen}x.
O conteúdo que vamos usar envolve a regra do produto e as derivadas básicas de \ln x e de \operatorname{sen}x.

Passo 2

Definimos
u(x) = \ln x \quad\text{e}\quad v(x) = \operatorname{sen}x.
Então suas derivadas são
u'(x) = \frac{1}{x} \quad\text{e}\quad v'(x) = \cos x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto
(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'
temos
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \frac{1}{x}\,\operatorname{sen}x + \ln x\;\cos x.

Resposta

f'(x) = \frac{\operatorname{sen}x}{x} + \ln x \,\cos x.

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