Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\cos \left(\ln \left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(\ln(x^{2})\bigr).
O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia, sabendo que a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\,u' e que a derivada de \ln(v) é v'/v.

Passo 2

Identificamos a composição em duas etapas: u(x)=\ln(x^{2}) e f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Primeiro, a derivada de h(u)=\cos(u) em relação a u é
h'(u)=-\sin(u).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\ln(x^{2}). Como \ln(v)'= v'/v, temos
u'(x)=\frac{(x^{2})'}{x^{2}}=\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x), obtemos
f'(x)=-\sin\bigl(\ln(x^{2})\bigr)\,\cdot\frac{2}{x} =-\frac{2\sin\bigl(\ln(x^{2})\bigr)}{x}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2\sin\bigl(\ln(x^{2})\bigr)}{x}.

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