Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\frac{\ln x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln x}{e^{x}}\,,\quad x>0.
Aqui vamos usar a técnica de reescrever a função como produto e depois aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\ln(x)\,\frac{1}{e^{x}}=\ln(x)\,e^{-x}\,.

Passo 3

Definimos
u(x)=\ln(x)\,,\quad v(x)=e^{-x}\,.
Então
u'(x)=\frac{1}{x},
pois a derivada de \ln(x) é 1/x, e
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) = -e^{-x},
pela regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra do produto \bigl(u\,v\bigr)'=u'v+u\,v', obtemos
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \frac{1}{x}\,e^{-x} + \ln(x)\,(-e^{-x}) = e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x} - \ln(x)\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln(x)\Bigr).

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