Resolva o problema: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\operatorname{sen} t, y(0)=y^{\prime}(0)=0
sem usar transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 6y' + 8y = \operatorname{sen} t,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar. Por fim, aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 6y' + 8y = 0.
A equação característica é
r^2 - 6r + 8 = 0
que fatoriza em (r-2)(r-4)=0. Logo r=2 e r=4, e a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{4t}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p\) de \[y'' - 6y' + 8y = \operatorname{sen} t,
proponho o ansatz
y_p(t) = A\cos t + B\operatorname{sen} t.
Calculando derivadas:
y_p' = -A\operatorname{sen} t + B\cos t, \qquad y_p'' = -A\cos t - B\operatorname{sen} t.
Substituindo na EDO:
(-A\cos t - B\operatorname{sen} t) -6(-A\operatorname{sen} t + B\cos t) +8(A\cos t + B\operatorname{sen} t) = \operatorname{sen} t.
Agrupando coeficientes de \cos t e \operatorname{sen} t obtém-se o sistema
\begin{cases} 7A - 6B = 0,\\\\ 6A + 7B = 1. \end{cases}
Da primeira equação (A=\tfrac{6}{7}B]. Substituindo na segunda:
6\cdot\frac{6}{7}B +7B =1 \;\Longrightarrow\; \frac{36}{7}B +7B =1 \;\Longrightarrow\; 85B =7 \;\Longrightarrow\; B = \frac{7}{85},
A = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{85} = \frac{6}{85}.
Portanto
y_p(t) = \frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\operatorname{sen} t.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{4t} + \frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\operatorname{sen} t.
Agora usamos y(0)=0 e y'(0)=0. Primeiro,
y(0) = C_1 + C_2 + \frac{6}{85} = 0 \;\Longrightarrow\; C_1 + C_2 = -\frac{6}{85}.
Em seguida,
y'(t) = 2C_1 e^{2t} + 4C_2 e^{4t} - \frac{6}{85}\operatorname{sen} t + \frac{7}{85}\cos t,
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y'(0) = 2C_1 + 4C_2 + \frac{7}{85} = 0 \;\Longrightarrow\; 2C_1 +4C_2 = -\frac{7}{85}.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -\tfrac{6}{85},\\\\ 2C_1 +4C_2 = -\tfrac{7}{85}, \end{cases}
acha-se
C_2 = \frac{1}{34}, \qquad C_1 = -\frac{1}{10}.

Resposta

y(t) = -\frac{1}{10}e^{2t} + \frac{1}{34}e^{4t} + \frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\operatorname{sen} t.

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