Resolva o problema: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\operatorname{sen} t, y(0)=y^{\prime}(0)=0
sem usar transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 6y' + 8y = \operatorname{sen} t,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular pelo método dos coeficientes a determinar. Por fim, aplicamos as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
y'' - 6y' + 8y = 0.
A equação característica é
r^2 - 6r + 8 = 0
que fatoriza em (r-2)(r-4)=0. Logo r=2 e r=4, e a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{4t}.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular y_p\) de
\[y'' - 6y' + 8y = \operatorname{sen} t,
proponho o ansatz
y_p(t) = A\cos t + B\operatorname{sen} t.
Calculando derivadas:
y_p' = -A\operatorname{sen} t + B\cos t, \qquad y_p'' = -A\cos t - B\operatorname{sen} t.
Substituindo na EDO:
(-A\cos t - B\operatorname{sen} t) -6(-A\operatorname{sen} t + B\cos t) +8(A\cos t + B\operatorname{sen} t) = \operatorname{sen} t.
Agrupando coeficientes de \cos t e \operatorname{sen} t obtém-se o sistema