Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\frac{\ln x}{e^{x}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{\ln x}{e^{x}}, definida para x>0. Para isso vamos usar a regra do quociente ou, mais simples, reescrever como produto e usar a regra do produto.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=\ln x\cdot e^{-x}.
Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com u=\ln x e v=e^{-x}: u'=\frac{1}{x} e v'=-e^{-x}. Logo,
f'(x)=\frac{1}{x}\,e^{-x}+\ln x\cdot(-e^{-x}) =\;e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln x\Bigr).

Passo 3

Para apresentar em forma de quociente, basta expandir o fator exponencial no denominador:
f'(x) =e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln x\Bigr) =\frac{1 - x\ln x}{x\,e^{x}}.

Resposta

f'(x)=e^{-x}\bigl(\tfrac{1}{x}-\ln x\bigr), equivalente a
f'(x)=\frac{1 - x\ln x}{x\,e^{x}}.

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