Determine a derivada das funções a seguir.
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}+x+1}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}+x+1}}.
O conteúdo envolve derivação de potência de função composta, ou seja, aplicação da regra da cadeia combinada com a regra do expoente.

Passo 2

Primeiro reescrevemos f(x) como potência:
f(x) = (x^{2}+x+1)^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Identificamos a função interna
u(x)=x^{2}+x+1
e o expoente externo
n=-\tfrac{1}{3}.
A derivada da interna é
u'(x)=2x+1.

Passo 4

Pela regra da cadeia, a derivada de u(x)^{n} é
n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Logo,
f'(x) =-\tfrac{1}{3}\,(x^{2}+x+1)^{-\tfrac{1}{3}-1}\,(2x+1) =-\tfrac{1}{3}\,(x^{2}+x+1)^{-\tfrac{4}{3}}\,(2x+1).

Passo 5

Escrevendo de forma mais usual, obtemos
f'(x)=-\frac{2x+1}{3\,(x^{2}+x+1)^{\tfrac{4}{3}}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2x+1}{3\,(x^{2}+x+1)^{\tfrac{4}{3}}}.

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